千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2023年8月実施 専門 B2

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• 多项式的系数理想

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

単位元をもつ可換環 $R$ と $f\in R[x]$ に対し、その係数で生成されるイデアルを $I(f)$ とする。

(1) $I(fg)\subset I(f)I(g)$ を示せ。

(2) 素イデアル $P\subset R$ に対し、$I(fg)\subset P$ ならば $I(f)\subset P$ または $I(g)\subset P$ を示せ。

(3) 正整数 $r$ で $(I(f)I(g))^r\subset I(fg)$ を満たすものが存在することを示せ。

(4) $R=k[s,t,u,v]$、$k$ は体、$f=s+tx,g=u+vx$ のとき、そのような $r$ の最小値を求めよ。

题目描述

对含幺交换环 $R$ 上的多项式，记 $I(f)$ 为系数生成的理想。(1) 证明乘积的系数理想包含于系数理想的乘积。(2) 若素理想包含 $I(fg)$，证明它至少包含 $I(f),I(g)$ 之一。(3) 证明存在正整数 $r$，使 $(I(f)I(g))^r\subset I(fg)$。(4) 当 $f=s+tx,g=u+vx$ 属于 $k[s,t,u,v][x]$ 时，求最小 $r$。

Kai

(1)

積の各係数は $a_ib_j$ の有限和であり、すべて $I(f)I(g)$ に属する。

(2)

$R/P$ は整域である。$I(fg)\subset P$ は $(R/P)[x]$ で $\overline f\,\overline g=0$ を意味するため、$\overline f=0$ または $\overline g=0$。これは所望の結論である。

(3)

$J=I(fg)$、$K=I(f)I(g)$ とおく。(2) より $J$ を含むすべての素イデアルが $K$ を含むので、$K\subset\sqrt J$。$K$ は有限生成で、$K=(c_1,\ldots,c_N)$ と書ける。各 $i$ について $c_i^{e_i}\in J$ となる $e_i\ge1$ をとり、

$$r=1+\sum_{i=1}^N(e_i-1)$$

とおく。$c_i$ の次数 $r$ の単項式は、いずれかの $c_i^{e_i}$ で割り切れる。したがって $K^r\subset J$。$K=0$ の場合は $r=1$ でよい。

(4)

$$K=(su,sv,tu,tv),\qquad J=(su,sv+tu,tv).$$

$R/J$ では $su=tv=0$、$tu=-sv$ であり、

$$(sv)^2=-svtu=-(su)(tv)=0.$$

したがって $K^2\subset J$。一方、次数 $2$ の斉次成分を比較すると $sv$ は $su,sv+tu,tv$ の $k$ 線形結合で表せず、$sv\notin J$。ゆえに $K\not\subset J$ であり、最小値は $\boxed2$。