千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2023年8月実施 専門 B1

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• 正合列与导出偶

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

加法群 $A,B$ と準同型 $f:A\to A,g:A\to B,h:B\to A$ が

$$\operatorname{im}f=\ker g,\qquad\operatorname{im}g=\ker h,\qquad\operatorname{im}h=\ker f$$

を満たすとする。$C=\operatorname{im}f$、$\varphi=g\circ h$ とおく。

(1) $\operatorname{im}\varphi\subset\ker\varphi$ を示せ。

(2) $D=\ker\varphi/\operatorname{im}\varphi$ とし、$\pi:\ker\varphi\to D$ を自然な全射とする。$G(f(a))=\pi(g(a))$ を満たす準同型 $G:C\to D$ が一意に存在することを示せ。

(3) $H(\pi(b))=h(b)$ を満たす準同型 $H:D\to C$ が一意に存在することを示せ。

(4) $F=f|_C:C\to C$ に対し、$\operatorname{im}F=\ker G$、$\operatorname{im}G=\ker H$、$\operatorname{im}H=\ker F$ を示せ。

题目描述

给定上述循环正合的加法群同态，令 $C=\operatorname{im}f$、$\varphi=gh$。(1) 证明 $\operatorname{im}\varphi\subset\ker\varphi$。(2) 在商群 $D$ 上证明公式 $G(f(a))=\pi(g(a))$ 唯一定义同态 $C\to D$。(3) 证明 $H(\pi(b))=h(b)$ 唯一定义同态 $D\to C$。(4) 证明限制映射 $F=f|_C$ 与 $G,H$ 也构成所列循环正合关系。

Kai

(1)

仮定より $gf=hg=fh=0$ である。したがって $\varphi^2=ghgh=0$ であり、結論を得る。

(2)

$\varphi(g(a))=ghg(a)=0$ だから $\pi(g(a))$ は定義できる。$f(a)=f(a')$ ならば $a-a'\in\ker f=\operatorname{im}h$、従って $g(a-a')\in\operatorname{im}(gh)=\operatorname{im}\varphi$ である。よって $G$ は代表元によらず定まり、準同型である。$f:A\to C$ が全射なので一意である。

(3)

$b\in\ker\varphi$ ならば $g(h(b))=0$、従って $h(b)\in\ker g=C$。また $h(\operatorname{im}\varphi)=hgh(B)=0$ なので $h$ は商を通じて $H$ を誘導する。$\pi$ の全射性から一意である。

(4)

$c=f(a)$ に対して

$$\begin{aligned} G(c)=0 &\iff g(a)=gh(b)\text{ となる }b\in B\text{ が存在}\\ &\iff a-h(b)\in\ker g=\operatorname{im}f\text{ となる }b\text{ が存在}\\ &\iff c\in\operatorname{im}f^2=\operatorname{im}F. \end{aligned}$$

最後の逆向きでは $c=f^2(a')$ として直接 $G(c)=\pi(gf(a'))=0$ を用いればよい。

次に $H(\pi(b))=0$ は $b\in\ker h=\operatorname{im}g$ と同値である。このとき $b=g(a)$ と書けば $\pi(b)=G(f(a))$。逆に $HG(f(a))=hg(a)=0$ なので $\ker H=\operatorname{im}G$。

最後に $c\in\ker F$ ならば $c\in C\cap\ker f$ であり、$c=h(b)$ と書ける。$c\in C=\ker g$ より $gh(b)=0$、従って $b\in\ker\varphi$ で、$c=H(\pi(b))$。逆包含は $fh=0$ から従う。