千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2023年8月実施専門 A4

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

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$n\in\mathbb N,0<p<1$ とし、 $X\sim\operatorname{Bi}(n,p)$ は $P(X=x)=\binom nxp^x(1-p)^{n-x}$ ( $x=0,\ldots,n$ ) を満たす。

(1) 二項分布の再生性を説明し、証明せよ。

(2) この母集団から大きさ $N$ の標本を抽出したとき、標本平均の分布、期待値、分散を求めよ。

(3) $m>0$ とし、 $np=m$ を保ち $n\to\infty,p\to0$ としたとき、(2) の標本平均の極限分布を求めよ。

题目描述

(1) 说明并证明二项分布的可加性。(2) 从 $\operatorname{Bi}(n,p)$ 抽取容量为 $N$ 的独立样本，求样本均值的分布、期望和方差。(3) 固定 $m=np>0$ ，令 $n\to\infty,p\to0$ ，求样本均值的极限分布。

Kai

(1)

独立な $U\sim\operatorname{Bi}(n_1,p)$ 、 $V\sim\operatorname{Bi}(n_2,p)$ に対して、 $U+V\sim\operatorname{Bi}(n_1+n_2,p)$ となる。実際、確率母関数は

E[z^{U+V}]=E[z^U]E[z^V]=(1-p+pz)^{n_1+n_2}

となり、二項分布の確率母関数に一致する。

(2)

標本を $X_1,\ldots,X_N$ 、標本平均を $\overline X$ とすると $N\overline X=\sum_iX_i\sim\operatorname{Bi}(Nn,p)$ 。したがって

P(\overline X=k/N)=\binom{Nn}{k}p^k(1-p)^{Nn-k}\quad(0\le k\le Nn),

\boxed{E[\overline X]=np,\qquad\operatorname{Var}(\overline X)=\frac{np(1-p)}N}.

(3)

$N$ を固定する。 $N\overline X$ の確率母関数は

\left(1+\frac mn(z-1)\right)^{Nn}\longrightarrow e^{Nm(z-1)}.

よって $N\overline X$ は $\operatorname{Poisson}(Nm)$ に分布収束する。求める極限分布は $Z/N$ （ $Z\sim\operatorname{Poisson}(Nm)$ ）であり、

\boxed{P(Z/N=k/N)=e^{-Nm}\frac{(Nm)^k}{k!}\quad(k\ge0)}.

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