千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2023年8月実施 専門 A3

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• Hausdorff-Space

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$f,g:\mathbb R^2\to\mathbb R$ を $f(x,y)=y$、$g(x,y)=x^2+y^2$ とする。実数直線は通常の位相とし、$\mathbb R^2$ の位相 $\mathcal O$ に対して、$f,g$ がともに連続であるという条件 $(\star)$ を考える。

(1) $\{1/n\mid n=1,2,\ldots\}$ は $\mathbb R$ の閉集合か。証明を付けよ。

(2) $(\star)$ を満たすが Hausdorff でない位相 $\mathcal O$ が存在することを示せ。

(3) $B=\{(x,x^2)\mid x\in\mathbb R\}$ は $(\star)$ を満たすすべての位相で閉集合か。証明を付けよ。

题目描述

设 $f(x,y)=y$、$g(x,y)=x^2+y^2$，并要求二者对平面上的拓扑 $\mathcal O$ 都连续，值域取通常实数拓扑。(1) 判断 $\{1/n\}$ 是否闭并证明。(2) 构造满足条件但不 Hausdorff 的平面拓扑。(3) 判断抛物线 $B=\{(x,x^2)\}$ 是否在每种满足条件的拓扑下都闭，并证明。

Kai

(1)

閉でない。 $1/n\to0$ だが $0$ は集合に含まれない。

(2)

$f^{-1}(U),g^{-1}(U)$（$U\subset\mathbb R$ は開集合）を準開基として生成される位相をとる。定義より $f,g$ は連続である。一方、$(1,0),(-1,0)$ は $f,g$ の値がともに等しいので、すべての開集合に同時に属する。したがって異なる二点を分離できず、Hausdorff でない。

(3)

常に閉集合である。 $(\star)$ を満たす位相の下では、実数値関数

$$h=g-f^2-f=x^2-y$$

は連続である。$B=h^{-1}(\{0\})$ であり、$\{0\}$ は閉だから結論を得る。