千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2023年8月実施専門 A2

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$f(x,y)=x^2+y^2$ 、 $g(x,y)=x^3+y^3-1$ とする。

(1) $f=1$ の下で $g$ が最大値または最小値をとる点をすべて求めよ。

(2) $g=0$ の下で $f$ が極大値または極小値をとる点をすべて求めよ。

(3) (2) の各点において、 $f$ は $g=0$ の下で最大値または最小値をとるか答えよ。

设 $f=x^2+y^2$ 、 $g=x^3+y^3-1$ 。(1) 在 $f=1$ 下求 $g$ 的全部最大值点与最小值点。(2) 在 $g=0$ 下求 $f$ 的全部局部极大、极小点。(3) 判断这些局部极值是否也是约束下的全局最值。

$x^2+y^2=1$ では

|x^3+y^3|\le |x|^3+|y|^3\le x^2+y^2=1.

等号条件より、最大値 $0$ は $(1,0),(0,1)$ で、最小値 $-2$ は $(-1,0),(0,-1)$ でとる。

制約上では $\nabla g\ne0$ なので、Lagrange の未定乗数法を適用できる。

2x=3\lambda x^2,\qquad2y=3\lambda y^2,\qquad x^3+y^3=1

より、候補は $(1,0),(0,1),(c,c)$ 、 $c=2^{-1/3}$ のみである。

$(0,1)$ の近くでは $y=(1-x^3)^{1/3}$ なので

f(x,y)=1+x^2-\frac23x^3+O(x^6),

したがって厳密な極小点である。対称性により $(1,0)$ も厳密な極小点で、値はともに $1$ 。

$(c,c)$ では $y'=-1,y''=-4/c$ より

\frac{d^2}{dx^2}(x^2+y(x)^2)=2+2(y')^2+2yy''=-4<0.

したがって $(c,c)$ は厳密な極大点で、値は $2^{1/3}$ 。

制約上では

1=x^3+y^3\le |x|^3+|y|^3\le(x^2+y^2)^{3/2},

よって $f\ge1$ 。したがって $(1,0),(0,1)$ は 最小値点 である。一方、 $x\to+\infty$ 、 $y=(1-x^3)^{1/3}$ とすれば $f\to\infty$ 。最大値は存在せず、 $(c,c)$ は最大値点ではない。