千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2023年8月実施 専門 A1

标签：

• 正交矩阵
• 特征值与特征向量

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$A$ を実 $n$ 次正方行列、$I$ を単位行列とする。

(1) $0<\theta<\pi$ として、次の $A$ の行列式と複素固有値をすべて求めよ。

$$A=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&\cos\theta&\sin\theta\\0&-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.$$

(2) $\mathbb C^n$ の内積を $(v,w)=\sum_iv_i\overline{w_i}$ とする。任意の $v,w$ で $(Av,w)=(v,Bw)$ を満たす実行列 $B$ を求めよ。

(3) $A$ が直交行列のとき、その固有値 $\lambda\in\mathbb C$ の絶対値を求めよ。

(4) $A$ が直交行列かつ $\det A=-1$ のとき、$-1$ は固有値であることを示せ。

题目描述

(1) 求上述实矩阵的行列式和全部复特征值。(2) 内积取 $\sum_iv_i\overline{w_i}$，用 $A$ 表示满足 $(Av,w)=(v,Bw)$ 的实矩阵 $B$。(3) 求实正交矩阵特征值的模。(4) 证明行列式为 $-1$ 的实正交矩阵必有特征值 $-1$。

Kai

(1)

$$\boxed{\det A=-1},\qquad \boxed{\lambda=-1,\ e^{i\theta},\ e^{-i\theta}}.$$

(2)

成分を展開すると $(Av,w)=(v,A^{\mathsf T}w)$ であるから、$\boxed{B=A^{\mathsf T}}$。

(3)

$Av=\lambda v$、$v\ne0$ とすると、直交性から

$$|\lambda|^2(v,v)=(Av,Av)=(v,A^{\mathsf T}Av)=(v,v).$$

ゆえに $\boxed{|\lambda|=1}$。

(4)

$A^{\mathsf T}=A^{-1}$ と $\det A=-1$ を用いると

$$\det(A+I)=\det(A^{\mathsf T}+I) =\det(A^{-1})\det(I+A)=-\det(A+I).$$

よって $\det(A+I)=0$ であり、$-1$ は固有値である。