千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2023年8月実施 専門 A0

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$M(A,B)$ を集合 $A$ から集合 $B$ へのすべての写像の集合、$\mathbb N=\{1,2,\ldots\}$ とする。

(1) $|A|=m\ge1,|B|=n\ge1$ のとき、(i) $|M(A,B)|$、(ii) 単射の個数を求めよ。理由は不要である。

(2) $|A|=2$ のとき、$\mathbb N\to M(A,\mathbb N)$ の全射は存在するか。存在すれば例を、存在しなければ証明を与えよ。

(3) $|B|=2$ のとき、$\mathbb N\to M(\mathbb N,B)$ の全射について同じ問いに答えよ。

题目描述

记 $M(A,B)$ 为全部映射组成的集合，$\mathbb N$ 为正整数集。(1) 有限集合基数分别为 $m,n$ 时，求全部映射及单射的个数，无需理由。(2) 当 $|A|=2$ 时，判断是否存在 $\mathbb N\to M(A,\mathbb N)$ 的满射并构造或证明不存在。(3) 当 $|B|=2$ 时，对 $\mathbb N\to M(\mathbb N,B)$ 作同样判断。

Kai

(1)

(i) $\boxed{n^m}$。

(ii) $m\le n$ のとき $\boxed{n!/(n-m)!}$、$m>n$ のとき $\boxed0$。

(2)

存在する。 $A=\{a_1,a_2\}$ とする。各 $r\in\mathbb N$ は一意に $r=2^{u-1}(2v-1)$ ($u,v\in\mathbb N$) と書ける。$r$ に $f_r(a_1)=u,f_r(a_2)=v$ なる写像を対応させれば、これは全単射である。

(3)

存在しない。 $B=\{b_0,b_1\}$ とし、全射が存在すると仮定してその値を $f_1,f_2,\ldots$ と列挙する。$g(n)$ を $f_n(n)$ と異なる $B$ の元と定めると、すべての $n$ で $g\ne f_n$ となる。これは全射性に反する。