千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 B8

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• Borel-Cantelli-Lemmas
• Law-of-Large-Numbers

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X_i$ は独立同分布で $E[X_1]=\mu$、$E[X_1^4]<\infty$、$S_n=\sum_{i=1}^nX_i$ とする。

1. $\mu=0$ なら $E[S_n^4]\le Cn^2$ となる $n$ に依らない定数 $C$ があることを示せ。
2. $\mu=0$ なら $P(|S_n|/n>\epsilon)\le C/(n^2\epsilon^4)$ を示せ。
3. $S_n/n\to\mu$ は概収束することを示せ。

さらに $Y_i$ は $(0,1]$ 上の独立一様確率変数、$0=x_0<\cdots<x_m=1$、$p_j=x_j-x_{j-1}$ とする。$Z_n(j)$ を $Y_1,\ldots,Y_n$ のうち $(x_{j-1},x_j]$ に入る個数、$R_n=\prod_{j=1}^mp_j^{Z_n(j)}$ とする。

4. $\log R_n/n$ の概収束先を求めよ。

题目描述

对独立同分布且四阶矩有限的变量和 $S_n$：(1) 零均值时证明四阶矩为 $O(n^2)$；(2) 证明 $P(|S_n|/n>\epsilon)\le C/(n^2\epsilon^4)$；(3) 证明强大数定律；(4) 对独立均匀样本的区间计数 $Z_n(j)$ 及 $R_n=\prod p_j^{Z_n(j)}$，求 $n^{-1}\log R_n$ 的几乎处处极限。

Kai

(1) $m_2=E[X_1^2]$、$m_4=E[X_1^4]$ とする。展開後、独立性と零平均性により、一つの添字が一回だけ現れる項は零となる。残るのは全添字が同じ項と二対に分かれる項であり

$$E[S_n^4]=nm_4+6\binom n2m_2^2=nm_4+3n(n-1)m_2^2\le(m_4+3m_2^2)n^2.$$

(2) Markov の不等式から

$$P(|S_n|/n>\epsilon)\le\frac{E[S_n^4]}{n^4\epsilon^4}\le\frac C{n^2\epsilon^4}.$$

(3) 一般の $\mu$ では $X_i-\mu$ に (2) を適用する。各 $k\ge1$ に対し

$$\sum_nP(|S_n/n-\mu|>1/k)<\infty.$$

Borel–Cantelli の補題よりこの事象は有限回しか起こらない。可算個の $k$ について同時に成り立つ確率は $1$ なので $S_n/n\to\mu$ は概収束する。

(4) $Z_n(j)=\sum_{i=1}^n1_{\{Y_i\in(x_{j-1},x_j]\}}$ に (3) を用いれば $Z_n(j)/n\to p_j$ が全 $j$ で同時に概収束する。従って

$$\boxed{\frac{\log R_n}{n}=\sum_{j=1}^m\frac{Z_n(j)}n\log p_j\ \longrightarrow\ \sum_{j=1}^mp_j\log p_j\quad\text{a.s.}}$$