千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 B7

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• Lebesgue-Dominated-and-Monotone-Convergence

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

測度空間 $(X,\mathcal A,\mu)$ 上で $f:X\to[0,\infty)$ は可積分とする。可測集合 $E_n$ は $\mu(E_n)>0$、$\mu(E_n)\to0$ を満たす。

1. $A_n=\{x:f(x)\ge\mu(E_n)^{-1/2}\}$ は可測であり、$\mu(A_n)\to0$ を示せ。
2. $\int_{E_n}f\,d\mu\to0$ を示せ。

题目描述

设非负可积函数 $f$ 定义于测度空间上，$E_n$ 可测、测度为正且趋于零。(1) 对 $A_n=\{f\ge\mu(E_n)^{-1/2}\}$，证明可测且测度趋于零；(2) 证明 $\int_{E_n}f\,d\mu\to0$。

Kai

(1) 可測性は $f$ の可測性から従う。$c_n=\mu(E_n)^{-1/2}$ とおくと

$$c_n\mu(A_n)\le\int_{A_n}f\,d\mu\le\|f\|_1.$$

従って $\mu(A_n)\le\|f\|_1\sqrt{\mu(E_n)}\to0$。

(2) $c_n\to\infty$ なので $f1_{A_n}\to0$ はほとんど至る所成立し、$0\le f1_{A_n}\le f$。優収束定理により $\int_{A_n}f\,d\mu\to0$。一方、$A_n$ の外では $f<c_n$ なので

$$0\le\int_{E_n}f\,d\mu\le\int_{A_n}f\,d\mu+c_n\mu(E_n) =\int_{A_n}f\,d\mu+\sqrt{\mu(E_n)}\longrightarrow0.$$