千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 B6

标签：

• 朗斯基行列式
• 基本解矩阵

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. 区間 $I$ 上で連続な $n$ 次正方行列 $A(x)$ と、$Y'=AY$ を満たす行列 $Y(x)$ に対し、$(\det Y)'=(\operatorname{tr}A)\det Y$ を示せ。
2. $a_0,\ldots,a_{n-2}$ は $(0,\infty)$ 上連続、$\alpha,\beta\in\mathbb R$ とする。方程式

$$y^{(n)}+\left(\frac\alpha x+\frac\beta{x^2}\right)y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\cdots+a_0y=0$$

の解 $y_1,\ldots,y_n$ の Wronskian が、ある定数 $c$ により $W(x)=cx^{-\alpha}e^{\beta/x}$ と表されることを示せ。

题目描述

(1) 证明矩阵微分方程 $Y'=AY$ 的行列式满足 Liouville 公式，即 $(\det Y)'=(\operatorname{tr}A)\det Y$，不要求 $Y$ 可逆；(2) 对 $y^{(n)}+(\alpha/x+\beta/x^2)y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\cdots+a_0y=0$，其中 $a_j$ 在 $(0,\infty)$ 连续，证明任意 $n$ 个解的 Wronskian 为 $cx^{-\alpha}e^{\beta/x}$。

Kai

(1) $Y$ の第 $i$ 行を $r_i$ とすると、$r_i'=\sum_j a_{ij}r_j$。行列式の各行に関する多重線形性から

$$(\det Y)'=\sum_{i=1}^n\det(r_1,\ldots,r_i',\ldots,r_n).$$

$r_i'$ に現れる $j\ne i$ の項では同じ行が二つあるため行列式は零であり、$j=i$ の項だけが残る。従って

$$(\det Y)'=\sum_{i=1}^na_{ii}\det Y=(\operatorname{tr}A)\det Y.$$

この証明では $Y$ の可逆性を用いていない。

(2) $j$ 列を $(y_j,y_j',\ldots,y_j^{(n-1)})^T$ とする行列を $Y$ とおけば、$Y'=AY$ を満たす同伴行列のトレースは $-\alpha/x-\beta/x^2$。従って (1) から

$$W'=\left(-\frac\alpha x-\frac\beta{x^2}\right)W.$$

積分因子を用いれば $(x^\alpha e^{-\beta/x}W)'=0$。よって零解も含めて

$$\boxed{W(x)=cx^{-\alpha}e^{\beta/x}}.$$