千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 B5

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• 用留数计算实积分
• 最大模原理

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. $\int_0^\infty\cos x/(1+x^2)\,dx$ を計算せよ。
2. $f$ は $|z|<1$ で正則、$|f(z)|\le1$、$f(0)=0$ とする。(a) $f(z)/z$ の原点が除去可能特異点であること、(b) $0<r<1$、$|z|\le r$ なら $|f(z)/z|\le1/r$、(c) $|f(z)|\le|z|$ を示せ。

题目描述

(1) 求 $\int_0^\infty\cos x/(1+x^2)\,dx$；(2) 设 $f$ 在单位圆盘全纯、$|f|\le1$ 且 $f(0)=0$，证明 $f(z)/z$ 在原点可去，再用最大模原理依次证明题中的两个不等式。

Kai

(1) 上半円閉路に $F(z)=e^{iz}/(1+z^2)$ の留数定理を用いる。内部の極 $i$ の留数は $e^{-1}/(2i)$。半径 $R$ の半円積分は $\pi R/(R^2-1)\to0$ なので

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx=\frac\pi e.$$

実部を取り偶性を用いれば

$$\boxed{\int_0^\infty\frac{\cos x}{1+x^2}dx=\frac\pi{2e}}.$$

(2)(a) $f(0)=0$ なので Taylor 展開は $f(z)=a_1z+a_2z^2+\cdots$。従って $h(z)=f(z)/z$ は $h(0)=a_1=f'(0)$ と定めて正則に拡張できる。

(b) $|z|=r$ では $|h(z)|\le1/r$。最大値原理によりこの上界は $|z|\le r$ にも成立する。

(c) $z$ を固定し $|z|<r<1$ として (b) を用い、$r\uparrow1$ とすれば $|h(z)|\le1$。従って $|f(z)|\le|z|$。原点でも等式が成立する。