千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 B4

标签：

• Simplicial-and-Cellular-Homology

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$K_i=[0,1]^2$（$i=1,2,3,4$）とし、各正方形の下辺、右辺、上辺、左辺を順に $\partial_1K_i,\ldots,\partial_4K_i$ とする。次の貼り合わせ写像を定める。

$$\begin{aligned} f_1:\partial_1K_2\to\partial_3K_1,&\quad(x,0)\mapsto(x/7,1),\\ f_2:\partial_3K_2\to\partial_3K_1,&\quad(x,1)\mapsto(5/7-x/7,1),\\ f_3:\partial_1K_3\to\partial_3K_1,&\quad(x,0)\mapsto(x/7+2/7,1),\\ f_4:\partial_3K_3\to\partial_3K_1,&\quad(x,1)\mapsto(x/7+6/7,1). \end{aligned}$$

$X$ を $K_1$ と $K_3$ を $f_3,f_4$ で貼った空間、$Y$ を $K_1,K_2,K_3$ を四写像で貼った空間とする。両者の境界は $S^1$ と同相である。$\widetilde X,\widetilde Y$ はそれぞれその境界に、任意の同相写像により円板 $K_4$ を貼って閉じた空間とする。

1. $H_*(X;\mathbb Z)$、2. $H_*(\widetilde X;\mathbb Q)$、3. $H_*(Y;\mathbb Z/2\mathbb Z)$、4. $H_*(\widetilde Y;\mathbb Z/2\mathbb Z)$ を求めよ。

题目描述

用四个单位正方形按题给映射粘合：$X$ 是基底圆盘 $K_1$ 加带 $K_3$；$Y$ 再加带 $K_2$。两者边界都同胚于圆周。再沿边界粘一张圆盘，分别得到 $\widetilde X,\widetilde Y$。求 $X$ 的整系数同调、$\widetilde X$ 的有理系数同调，以及 $Y,\widetilde Y$ 的模二同调。

Kai

(1) $K_3$ の両端は $x$ 座標を同じ向きにして $K_1$ の同じ辺へ貼られるので、$X$ は Möbius 帯である。芯の円周に変形収縮するから

$$\boxed{H_q(X;\mathbb Z)=\begin{cases}\mathbb Z&q=0,1,\\0&q\ge2.\end{cases}}$$

(2) Möbius 帯の境界は芯を二周する。従って境界を円板で塞いだ空間は、各次元 $0,1,2$ に一つずつ胞体をもち、胞体境界写像は

$$0\longrightarrow\mathbb Q\xrightarrow{\,2\,}\mathbb Q\xrightarrow{\,0\,}\mathbb Q\longrightarrow0.$$

よって $\boxed{H_0(\widetilde X;\mathbb Q)=\mathbb Q}$、$\boxed{H_q(\widetilde X;\mathbb Q)=0\ (q\ge1)}$。

(3) $Y$ は円板に二本の帯を付けた空間で、二つの帯の芯と円板内のそれらを結ぶ木に変形収縮する。このグラフは二円周の一点和と同じホモトピー型をもつ。$\mathbb F_2=\mathbb Z/2\mathbb Z$ と書けば

$$\boxed{H_q(Y;\mathbb F_2)=\begin{cases}\mathbb F_2&q=0,\\\mathbb F_2^2&q=1,\\0&q\ge2.\end{cases}}$$

(4) 境界に沿って $2$ 胞体を一つ付加する。境界は各帯の両側を一度ずつ通るので、各 $1$ 胞体の係数は $\mathbb F_2$ 上で $0$ になる。従って胞体鎖複体は

$$0\longrightarrow\mathbb F_2\xrightarrow{\,0\,}\mathbb F_2^2\xrightarrow{\,0\,}\mathbb F_2\longrightarrow0.$$

よって

$$\boxed{H_q(\widetilde Y;\mathbb F_2)=\begin{cases}\mathbb F_2&q=0,2,\\\mathbb F_2^2&q=1,\\0&q\ge3.\end{cases}}$$