千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 B3

标签：

• Differentiable-Manifolds-and-Regular-Values

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\mathbb R^3$ の標準内積を $\cdot$ とし、

$$V=\{(u,v)\in\mathbb R^3\times\mathbb R^3:u\cdot u=v\cdot v=1,\ u\cdot v=0\}$$

とする。(1) $V$ が滑らかな多様体であることを示し、(2) 次元を求め、(3) 向き付け可能であること、(4) 零点のない滑らかなベクトル場をもつことを示せ。

题目描述

$V$ 为三维欧氏空间中所有有序正交单位向量对组成的集合。证明 $V$ 是光滑流形，求维数，证明可定向，并构造处处非零的光滑向量场。

Kai

(1)(2) $F:\mathbb R^6\to\mathbb R^3$ を $F(u,v)=(u\cdot u,v\cdot v,u\cdot v)$ とする。$V=F^{-1}(1,1,0)$ であり、$V$ 上で三つの成分の勾配は

$$N_1=(2u,0),\quad N_2=(0,2v),\quad N_3=(v,u).$$

これらは互いに直交し零でないので $dF$ の階数は $3$。正則値定理より $V$ は滑らかな多様体で、$\boxed{\dim V=6-3=3}$。

(3) $N_1,N_2,N_3$ は法束の大域的な順序付き枠を与える。接空間の基底 $(a_1,a_2,a_3)$ が正の向きであることを、$(N_1,N_2,N_3,a_1,a_2,a_3)$ が標準の $\mathbb R^6$ で正の向きとなることで定めれば、滑らかに整合する向き付けを得る。

(4) $\boxed{W(u,v)=(v,-u)}$ とおく。$F$ の微分に代入すると $dF(W)=(0,0,0)$ なので $W$ は接ベクトル場であり、多項式写像なので滑らかである。さらに $\|W\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2=2$ だから零点をもたない。