千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 B2

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• Prime-Ideals-and-Nilradical

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$K$ を標数 $p\ge0$ の体とし、$f:\mathbb Z[x]\to K$ を環準同型とする。次を示せ。

1. $\ker f$ は素イデアルである。
2. $p$ が素数なら、$\ker f$ は $p$ とある $q(x)\in\mathbb Z[x]$ で生成される。
3. $p=0$ なら $\operatorname{Im}f$ は体でない。
4. $f$ が全射なら $K$ は有限体である。

题目描述

设 $f:\mathbb Z[x]\to K$ 为到标数 $p\ge0$ 的域的含幺环同态。证明：(1) 核是素理想；(2) 若 $p$ 为素数，核可由 $p$ 和一个整系数多项式生成；(3) 若标数为零，像不是域；(4) 若满射，则 $K$ 为有限域。

Kai

$\alpha=f(x)$ とおく。環準同型は単位元を保つものとする。

(1) $\mathbb Z[x]/\ker f\simeq\operatorname{Im}f\subseteq K$ は整域なので $\ker f$ は素イデアルである。

(2) $p\in\ker f$ なので $f$ は $\overline f:\mathbb F_p[x]\to K$ を誘導する。$\mathbb F_p[x]$ は単項イデアル整域だから $\ker\overline f=(\overline q)$。係数を整数に持ち上げれば $\boxed{\ker f=(p,q)}$。核が零の場合には $q=0$ とする。

(3) $\operatorname{Im}f=\mathbb Z[\alpha]$。$\alpha$ が超越的ならこれは $\mathbb Z[x]$ と同型で、例えば $2$ は単元でない。

$\alpha$ が代数的なら、その原始既約多項式 $h\in\mathbb Z[x]$ の最高次係数を $a\ne0$ とする。$a$ を割らない素数 $\ell$ を選ぶ。もし $1/\ell=q(\alpha)$（$q\in\mathbb Z[x]$）なら $h$ は $\ell q-1$ を $\mathbb Q[x]$ で割り、Gauss の補題により $\mathbb Z[x]$ でも割る。$\ell$ を法として還元すると、正の次数をもつ $\overline h$ が定数 $-1$ を割ることになり矛盾する。従って $\mathbb Z[\alpha]$ は体でない。

(4) (3) より $p>0$。(2) と全射性から $K\simeq\mathbb F_p[x]/(\overline q)$。体になるためには $\overline q$ は正の次数 $d$ の既約多項式であり、各剰余類は次数 $d$ 未満の多項式で一意に表される。従って $\boxed{|K|=p^d<\infty}$。