千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 B1

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• 群同态与商群

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

群 $G$ の自己同型群を $\operatorname{Aut}(G)$、内部自己同型 $\varphi_g(x)=gxg^{-1}$ の全体を $\operatorname{Inn}(G)$ とする。

1. $\operatorname{Inn}(G)\triangleleft\operatorname{Aut}(G)$ を示せ。
2. 自己同型は共役な元を共役な元に写すことを示せ。
3. $\operatorname{Inn}(S_3)=\operatorname{Aut}(S_3)$ を示せ。
4. $G=(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$ に対して $\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)$ を求めよ。

题目描述

设 $\operatorname{Aut}(G)$ 为自同构群，$\operatorname{Inn}(G)$ 为内自同构群。(1) 证明内自同构群正规；(2) 证明自同构保持共轭关系；(3) 证明 $S_3$ 的自同构全部为内自同构；(4) 求 Klein 四元群的外自同构群。

Kai

(1) $\varphi_g\varphi_h=\varphi_{gh}$、$\varphi_g^{-1}=\varphi_{g^{-1}}$ なので部分群である。また $\psi\in\operatorname{Aut}(G)$ に対し

$$\psi\varphi_g\psi^{-1}=\varphi_{\psi(g)}\in\operatorname{Inn}(G),$$

従って正規である。

(2) $y=gxg^{-1}$ なら $\psi(y)=\psi(g)\psi(x)\psi(g)^{-1}$。

(3) $S_3$ の位数 $2$ の元は三つの互換である。自己同型はこれらを置換し、互換が $S_3$ を生成するので、この作用は忠実である。従って $|\operatorname{Aut}(S_3)|\le6$。一方、$S_3$ の中心は自明なので $\operatorname{Inn}(S_3)\simeq S_3$、その位数は $6$。よって両者は等しい。

(4) $G$ は可換なので $\operatorname{Inn}(G)=1$。$G$ は $\mathbb F_2$ 上二次元のベクトル空間であり、自己同型は $\operatorname{GL}_2(\mathbb F_2)$ である。第一基底ベクトルの像は $3$ 通り、第二は $2$ 通りで位数は $6$。三つの非零元への作用で $S_3$ と同型になるから

$$\boxed{\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)\simeq S_3}.$$