千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 A4

标签：

• Gamma-Distribution
• Independence-of-Random-Variables

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\lambda>0$ とし、$X_1,\ldots,X_n$ は密度 $\lambda e^{-\lambda x}1_{\{x>0\}}$ をもつ独立な指数確率変数とする。

1. $Y_n=X_1+\cdots+X_n$ の密度を求めよ。
2. $W\sim\operatorname{Po}(\mu)$（$\mu>0$）とし、$W\ge1$ のとき $Y_W=X_1+\cdots+X_W$、$W=0$ のとき $Y_W=0$ と定める。$E[Y_W\mid W=k]$ と $E[Y_W]$ を求めよ。

题目描述

设 $X_1,\ldots,X_n$ 为独立的参数 $\lambda>0$ 的指数随机变量。(1) 求和 $Y_n$ 的密度；(2) 另取 $W\sim\operatorname{Po}(\mu)$，定义随机项数之和 $Y_W$（$W=0$ 时为零），求条件均值及总均值。

Kai

(1) 畳み込みを用いる。$n=1$ は仮定そのもの。$n$ の場合の式から

$$f_{Y_{n+1}}(y)=\int_0^y\frac{\lambda^n t^{n-1}e^{-\lambda t}}{(n-1)!}\lambda e^{-\lambda(y-t)}dt =\frac{\lambda^{n+1}y^ne^{-\lambda y}}{n!}\quad(y>0).$$

従って

$$\boxed{f_{Y_n}(y)=\frac{\lambda^n y^{n-1}e^{-\lambda y}}{(n-1)!}1_{\{y>0\}}}.$$

(2) $X_1,X_2,\ldots$ を無限の独立同分布列とし、さらに $W$ とこの列が独立である場合、

$$\boxed{E[Y_W\mid W=k]=\frac k\lambda\quad(k\ge0),\qquad E[Y_W]=\frac{E[W]}\lambda=\frac\mu\lambda}.$$

独立性を仮定しない場合には、一般には

$$E[Y_W\mid W=k]=\sum_{j=1}^k E[X_j\mid W=k]$$

であり、$X_j$ と $W$ の周辺分布だけからは値を定められない。