千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 A3

标签：

• Metric-Space
• Hausdorff-Space
• Compactness-and-Connectedness

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. 距離空間 $(X,d)$ の空でない部分集合 $A$ に対し $\rho(x)=\inf_{a\in A}d(x,a)$ とする。$\rho$ は連続か、一様連続か、理由とともに答えよ。
2. Hausdorff 空間の空でないコンパクト部分集合は閉集合であることを示せ。
3. $\mathcal U=\{\varnothing,\mathbb R\}\cup\{(-\infty,s):s\in\mathbb R\}$ を $\mathbb R$ の位相とする。$f(x)=\lfloor x\rfloor$、$g(x)=\lceil x\rceil$ は $(\mathbb R,\mathcal U)$ から自身への連続写像か判定せよ。

题目描述

(1) 证明到非空集合的距离函数连续，并判断一致连续性；(2) 证明 Hausdorff 空间中的紧子集闭；(3) 在仅有左开半直线及空集、全集为开集的实数拓扑中，判断下取整与上取整函数是否连续。

Kai

(1) 任意の $a\in A$ に対し $\rho(x)\le d(x,y)+d(y,a)$。$a$ について下限をとり、$x,y$ を交換して得る不等式と合わせると

$$|\rho(x)-\rho(y)|\le d(x,y).$$

従って $\rho$ は $1$-Lipschitz 連続であり、特に一様連続である。

(2) $x\notin A$ をとる。各 $a\in A$ に対し Hausdorff 性から互いに交わらない開近傍 $x\in U_a,a\in V_a$ がある。$A$ のコンパクト性により有限個 $V_{a_1},\ldots,V_{a_m}$ が $A$ を覆う。このとき $\bigcap_{j=1}^mU_{a_j}$ は $x$ の開近傍で $A$ と交わらない。従って $X\setminus A$ は開である。

(3) 任意の $s\in\mathbb R$ に対し

$$f^{-1}(( -\infty,s))=(-\infty,\lceil s\rceil)\in\mathcal U,$$

なので $f$ は連続である。一方

$$g^{-1}((-\infty,1))=(-\infty,0]\notin\mathcal U,$$

なので $g$ は連続でない。