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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 A2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

  1. f(x)=e−xsin⁡xf(x)=e^{-x}\sin x が [1,∞)[1,\infty) 上一様連続であることを示せ。
  2. 連続関数 f:[1,∞)→Rf:[1,\infty)\to\mathbb R が有限な極限 lim⁡x→∞f(x)=c\lim_{x\to\infty}f(x)=c をもつなら、一様連続であることを示せ。
  3. 一様連続関数列 fnf_n が [1,∞)[1,\infty) 上で ff に一様収束するなら ff も一様連続であることを示せ。
  4. ∑n=1∞n(nx−1)2e−nx\sum_{n=1}^{\infty}n(nx-1)^2e^{-nx} が [1,∞)[1,\infty) 上で収束し、その和が一様連続であることを示せ。

题目描述​

在 [1,∞)[1,\infty) 上：(1) 证明 e−xsin⁡xe^{-x}\sin x 一致连续；(2) 证明无穷远处有有限极限的连续函数一致连续；(3) 证明一致连续函数的一致极限仍一致连续；(4) 证明 ∑n=1∞n(nx−1)2e−nx\sum_{n=1}^{\infty}n(nx-1)^2e^{-nx} 收敛且和函数一致连续。

Kai​

(1) ∣f′(x)∣=e−x∣cos⁡x−sin⁡x∣≤2/e|f'(x)|=e^{-x}|\cos x-\sin x|\le\sqrt2/e。平均値の定理から Lipschitz 連続、従って一様連続である。

(2) ϵ>0\epsilon>0 に対し x≥Mx\ge M なら ∣f(x)−c∣<ϵ/2|f(x)-c|<\epsilon/2 となる M≥1M\ge1 をとる。ff はコンパクト区間 [1,M+1][1,M+1] で一様連続なので、ある 0<δ≤10<\delta\le1 に対して同区間内の ∣x−y∣<δ|x-y|<\delta から ∣f(x)−f(y)∣<ϵ|f(x)-f(y)|<\epsilon が従う。一般の x,y≥1x,y\ge1 で ∣x−y∣<δ|x-y|<\delta なら、両方がこのコンパクト区間に入るか、両方が MM 以上となる。後者でも三角不等式から差は ϵ\epsilon 未満である。

(3) ∥f−fN∥∞<ϵ/3\|f-f_N\|_\infty<\epsilon/3 となる NN を固定し、fNf_N の一様連続性に対応する δ\delta をとれば

∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−fN(x)∣+∣fN(x)−fN(y)∣+∣fN(y)−f(y)∣<ϵ.|f(x)-f(y)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(y)|+|f_N(y)-f(y)|<\epsilon.

(4) hn(x)=n(nx−1)2e−nxh_n(x)=n(nx-1)^2e^{-nx} とする。各 hnh_n は連続で無限遠の極限が零なので (2) により一様連続。また

hn′(x)=n2(nx−1)(3−nx)e−nx.h_n'(x)=n^2(nx-1)(3-nx)e^{-nx}.

よって

sup⁡x≥1h1(x)=4e−3,sup⁡x≥1h2(x)=8e−3,sup⁡x≥1hn(x)=n(n−1)2e−n(n≥3).\sup_{x\ge1}h_1(x)=4e^{-3},\quad\sup_{x\ge1}h_2(x)=8e^{-3},\quad \sup_{x\ge1}h_n(x)=n(n-1)^2e^{-n}\quad(n\ge3).

最後の上界の和は収束するので、Weierstrass の判定法から級数は一様収束する。部分和は一様連続であるから (3) により和も一様連続である。

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