千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 A1

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• Cayley-Hamilton-Theorem
• Commuting-Matrices

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$A\in M_n(\mathbb R)$ と $v\in\mathbb R^n$ は $v,Av,\ldots,A^{n-1}v$ が線形独立であるとする。$P_A(t)=t^n+a_1t^{n-1}+\cdots+a_n$ とする。

1. $A^n$ を $I,A,\ldots,A^{n-1}$ の線形結合で表せ。
2. $B\in M_n(\mathbb R)$ に対し

$$[x\ Bx\ \cdots\ B^{n-1}x]=f_B(x)[v\ Av\ \cdots\ A^{n-1}v]$$

で定める $f_B:\mathbb R^n\to M_n(\mathbb R)$ が線形かつ単射であることを示せ。 3. $P_B=P_A$ なら任意の $X\in\operatorname{Im}f_B$ に対して $XA=BX$ を示せ。 4. $n\ge2$ なら $XA=AX$ を満たす非スカラー行列 $X$ が無数に存在することを示せ。

题目描述

设 $v,Av,\ldots,A^{n-1}v$ 线性无关。(1) 用低次幂表示 $A^n$；(2) 由题中等式定义 $f_B$，证明其线性且单射；(3) 若 $A,B$ 的特征多项式相同，证明像中每个 $X$ 满足 $XA=BX$；(4) 若 $n\ge2$，证明与 $A$ 交换的非标量矩阵有无限多个。

Kai

(1) Cayley–Hamilton の定理より

$$\boxed{A^n=-a_1A^{n-1}-a_2A^{n-2}-\cdots-a_{n-1}A-a_nI}.$$

(2) $P=[v\ Av\ \cdots\ A^{n-1}v]$ は可逆なので

$$f_B(x)=[x\ Bx\ \cdots\ B^{n-1}x]P^{-1}.$$

各列は $x$ の線形関数であり、$f_B$ は線形。$f_B(x)=0$ なら右から $P$ を掛けて第一列を見れば $x=0$ なので単射である。

(3) $X=f_B(x)$ とする。定義から $XA^kv=B^kx$（$0\le k\le n-1$）。従って $k<n-1$ では $XA(A^kv)=BX(A^kv)$。$k=n-1$ でも、(1) と $P_B=P_A$ により

$$XA^nv=-\sum_{j=1}^na_jB^{n-j}x=B^nx=BX(A^{n-1}v).$$

基底の全元で一致するので $XA=BX$。

(4) $v,Av$ は線形独立だから $A$ はスカラー行列でない。従って $\boxed{X=cA\ (c\in\mathbb R\setminus\{0\})}$ は互いに異なる非スカラー行列で、すべて $A$ と可換である。