千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2022年8月実施 専門 A0

标签：

• 基数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X\subseteq\mathbb Z$ について、ある有限集合 $Y\subseteq\mathbb Z$ が存在して $X\cup Y=\mathbb Z$ となる条件を $(*)$ とする。次の真偽を判定し、証明または反例を与えよ。

1. $(*)$ を満たす $X$ は無限集合である。
2. 無限集合 $X$ は $(*)$ を満たす。
3. $X_1,X_2$ が $(*)$ を満たせば $X_1\cup X_2$ も満たす。
4. $X_1,X_2$ が $(*)$ を満たせば $X_1\cap X_2$ も満たす。
5. $X,X^c$ が両方とも $(*)$ を満たすことはない。
6. $X,X^c$ の少なくとも一方は $(*)$ を満たす。

题目描述

对 $X\subseteq\mathbb Z$，条件 $(*)$ 表示存在有限集合 $Y$ 使 $X\cup Y=\mathbb Z$。判断六个命题：(1) 满足条件的集合无限；(2) 无限集合满足条件；(3)(4) 两个满足条件的集合的并、交也满足；(5) 一个集合及其补集不能同时满足；(6) 集合与补集至少一个满足。正确则证明，错误则举反例。

Kai

$(*)$ は $X^c$ が有限であることと同値である。

(1) 真。$X$ も有限なら $\mathbb Z=X\cup X^c$ が有限となり矛盾する。

(2) 偽。$X=2\mathbb Z$ は無限だが補集合も無限である。

(3) 真。$(X_1\cup X_2)^c=X_1^c\cap X_2^c$ は有限である。

(4) 真。$(X_1\cap X_2)^c=X_1^c\cup X_2^c$ は有限である。

(5) 真。両方が $(*)$ を満たせば $X$ と $X^c$ がともに有限となり、$\mathbb Z$ が有限になってしまう。

(6) 偽。$X=2\mathbb Z$ のとき、$X,X^c$ はどちらも補集合が無限である。