千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 B9

标签：

• Maximum-Likelihood-Estimation
• Fisher-Information-and-Cramer-Rao-Bound

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X_1,\ldots,X_n$ は独立に $P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}$（$x=0,1$）に従い、$0<p<1$ とする。(1) 対数尤度、(2) 最尤推定量、(3) 不偏性、(4) 一致性、(5) Fisher 情報量、(6) 有効性を求め、または判定せよ。

题目描述

设样本独立同分布于 Bernoulli$(p)$，参数范围 $0<p<1$。求对数似然、最大似然估计及 Fisher 信息，判断估计量的不偏性、相合性和有效性。

Kai

$S=\sum_{i=1}^nX_i$ とおく。

(1) $\boxed{\ell(p)=S\log p+(n-S)\log(1-p)}$。

(2) $0<S<n$ のとき、$\ell'(p)=S/p-(n-S)/(1-p)=0$ より $\widehat p=S/n$、かつ $\ell''(p)<0$。$S=0,n$ では開区間 $(0,1)$ 内に最大点は存在しない。閉区間 $[0,1]$ へ拡張した最尤推定量は全標本について

$$\boxed{\widehat p=\overline X}.$$

以下、この標本平均について答える。

(3) $E[\widehat p]=n^{-1}\sum E[X_i]=p$ なので不偏である。

(4) $\operatorname{Var}(\widehat p)=p(1-p)/n$ より、Chebyshev の不等式から $\widehat p\xrightarrow{P}p$。

(5)

$$\boxed{I_n(p)=-E[\ell''(p)]=\frac{np}{p^2}+\frac{n(1-p)}{(1-p)^2}=\frac n{p(1-p)}}.$$

(6) 不偏推定量 $\widehat p$ の分散は $1/I_n(p)$ に一致するので、$0<p<1$ の各点で有効である。