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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 B8

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

X1,X2,…X_1,X_2,\ldots は独立同分布で ∣Xk∣≤C|X_k|\le C、μ=E[X1]≠0\mu=E[X_1]\ne0 とする。S0=0S_0=0、Sn=∑k=1nXkS_n=\sum_{k=1}^nX_k、Fn=σ(X1,…,Xn)\mathcal F_n=\sigma(X_1,\ldots,X_n)、F0={∅,Ω}\mathcal F_0=\{\varnothing,\Omega\} とする。

  1. E[Xn+1∣Fn]=μE[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=\mu を示せ。
  2. Sn−nμS_n-n\mu はマルチンゲールであることを示せ。
  3. M>0M>0 に対し T=inf⁡{n≥0:∣Sn∣>M}T=\inf\{n\ge0:|S_n|>M\} が停止時刻であることを示せ。
  4. P(T<∞)=1P(T<\infty)=1 を示せ。
  5. E[ST]=μE[T]E[S_T]=\mu E[T] を示せ。

题目描述​

设 XkX_k 独立同分布、有界且均值 μ≠0\mu\ne0，Sn=∑k=1nXkS_n=\sum_{k=1}^nX_k，Fn\mathcal F_n 为自然滤过。证明条件期望公式、中心化和为鞅、首次离开区间 [−M,M][-M,M] 的时间 TT 为停止时刻、TT 几乎处处有限，以及 Wald 等式 E[ST]=μE[T]E[S_T]=\mu E[T]。

Kai​

(1) Xn+1X_{n+1} と Fn\mathcal F_n は独立なので E[Xn+1∣Fn]=E[Xn+1]=μE[X_{n+1}\mid\mathcal F_n]=E[X_{n+1}]=\mu。

(2) Sn−nμS_n-n\mu は可積分かつ適合し、(1) から

E[Sn+1−(n+1)μ∣Fn]=Sn−nμ.E[S_{n+1}-(n+1)\mu\mid\mathcal F_n]=S_n-n\mu.

(3) {T≤n}=⋃k=0n{∣Sk∣>M}∈Fn\{T\le n\}=\bigcup_{k=0}^n\{|S_k|>M\}\in\mathcal F_n なので停止時刻である。

(4) 有界停止時刻 T∧nT\wedge n に対する任意停止定理より

E[ST∧n]=μE[T∧n].E[S_{T\wedge n}]=\mu E[T\wedge n].

脱出時の超過は高々 CC なので ∣ST∧n∣≤M+C|S_{T\wedge n}|\le M+C。従って E[T∧n]≤(M+C)/∣μ∣E[T\wedge n]\le(M+C)/|\mu|。単調収束定理から E[T]≤(M+C)/∣μ∣<∞E[T]\le(M+C)/|\mu|<\infty、特に P(T<∞)=1P(T<\infty)=1。

(5) ST∧n→STS_{T\wedge n}\to S_T はほとんど確実に成立し、絶対値は M+CM+C 以下である。従って優収束定理と E[T∧n]→E[T]E[T\wedge n]\to E[T] により

E[ST]=μE[T].\boxed{E[S_T]=\mu E[T]}.
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