千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 B7

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\ell^1(\mathbb N)=\{f:\mathbb N\to\mathbb C:\sum_{n\ge1}|f(n)|<\infty\}$、$\|f\|=\sum|f(n)|$ とする。

1. $\|\cdot\|$ がノルムであることを示せ。
2. $\ell^1$ は Banach 空間であることを示せ。
3. 有限台の列の部分空間を $Y$ とする。線形写像 $\Phi:Y\to\mathbb C$ が $|\Phi(f)|\le\sup_n|f(n)|$ を満たすとき、$g\in\ell^1$ が存在して $\Phi(f)=\sum f(n)g(n)$ がすべての $f\in Y$ で成り立つことを示せ。

题目描述

对绝对可和复数列空间 $\ell^1$ 及范数 $\|f\|=\sum|f(n)|$：(1) 验证范数公理；(2) 证明完备性；(3) 若有限支撑列上的线性泛函满足 $|\Phi(f)|\le\sup|f(n)|$，证明其可写为 $\sum f(n)g(n)$，其中 $g\in\ell^1$。

Kai

(1) 各項が非負なので $\|f\|\ge0$、等号は $f=0$ のときに限る。また $\|cf\|=|c|\|f\|$、$|f(n)+h(n)|\le|f(n)|+|h(n)|$ を足し合わせれば三角不等式を得る。

(2) Cauchy 列 $f_m$ をとる。$|f_m(n)-f_k(n)|\le\|f_m-f_k\|$ より各座標は収束し、極限を $f(n)$ とする。$m,k\ge M$ で $\|f_m-f_k\|\le\epsilon$ なら、任意の $L$ について $k\to\infty$ として

$$\sum_{n=1}^L|f_m(n)-f(n)|\le\epsilon.$$

$L\to\infty$ として $\|f_m-f\|\le\epsilon$。特に $\|f\|\le\|f_M\|+\epsilon<\infty$ であり、$f_m\to f$ はノルム収束する。

(3) 標準基底 $e_n$ に対し $g(n)=\Phi(e_n)$ とおく。$f\in Y$ は有限和 $f=\sum f(n)e_n$ なので表示式は線形性から従う。$N$ を固定し、$g(n)\ne0$ のとき $c_n=\overline{g(n)}/|g(n)|$、それ以外は $c_n=0$ とする。$f_N=\sum_{n=1}^Nc_ne_n$ に仮定を用いると

$$\sum_{n=1}^N|g(n)|=|\Phi(f_N)|\le1.$$

従って $\sum_{n\ge1}|g(n)|\le1$、すなわち $g\in\ell^1$ である。