千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 B6

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• Systems-of-ODEs
• Characteristic-Roots-and-Stability

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X=(x,y)^T$、$A=\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}$ とする。

1. $X'=AX$ の一般解を求めよ。
2. $p,q\in\mathbb R^2$ が同じ大域的解の軌跡上にあるとき $p\sim q$ と定める。これが同値関係であることを示せ。
3. 相図を示し、商集合 $\mathbb R^2/\sim$ の完全代表系を一つ与えよ。

题目描述

考虑线性系统 $X'=AX$，$A=\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}$。(1) 求通解；(2) 以“位于同一条解轨道上”定义关系，证明其为等价关系；(3) 绘制相图，并给出轨道空间的一组完全代表元。

Kai

(1) 固有値は $2,-1$、対応する固有ベクトルは $(1,1)^T,(2,-1)^T$。従って

$$\boxed{X(t)=ae^{2t}(1,1)^T+be^{-t}(2,-1)^T\quad(a,b\in\mathbb R)}.$$

(2) 流れを $\Phi_t(p)=e^{tA}p$ とすれば、$p\sim q$ は $q=\Phi_t(p)$ となる $t\in\mathbb R$ があることと同値である。$\Phi_0=\operatorname{id}$、$\Phi_{-t}=\Phi_t^{-1}$、$\Phi_s\Phi_t=\Phi_{s+t}$ により反射律、対称律、推移律が成立する。

(3) 座標 $u=(x+2y)/3,v=(x-y)/3$ では $u'=2u,v'=-v$ となる。$u$ 軸では原点から離れ、$v$ 軸では原点へ近づく。$uv\ne0$ の軌道は $uv^2=\text{定数}$ で、各座標の符号を保つ。

完全代表系の一例は

$$\boxed{\{(0,0),(1,1),(-1,-1)\}\ \cup\ \{(a+2,a-1):a\in\mathbb R\}\ \cup\ \{(a-2,a+1):a\in\mathbb R\}}.$$

実際、$v\ne0$ の各軌道は $v=1$ または $v=-1$ とちょうど一度交わる。$v=0,u\ne0$ の二軌道には $u=\pm1$ を選び、原点も加えた。