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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 B5

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

CrC_r を上半円 z=reiθz=re^{i\theta}（0≤θ≤π0\le\theta\le\pi）とする。

  1. ff が原点近傍で正則で f(0)=1f(0)=1 のとき lim⁡r→0∫Crf(z)/z dz\lim_{r\to0}\int_{C_r}f(z)/z\,dz を求めよ。
  2. lim⁡r→∞∫Creiz/z dz=0\lim_{r\to\infty}\int_{C_r}e^{iz}/z\,dz=0 を示せ。
  3. ∫0∞sin⁡x/x dx\int_0^\infty\sin x/x\,dx を求めよ。

题目描述​

令 CrC_r 为从 rr 到 −r-r 的上半圆。(1) 若 ff 在原点附近全纯且 f(0)=1f(0)=1，求 lim⁡r→0∫Crf(z)/z dz\lim_{r\to0}\int_{C_r}f(z)/z\,dz；(2) 证明 ∫Creiz/z dz→0\int_{C_r}e^{iz}/z\,dz\to0（r→∞r\to\infty）；(3) 计算 Dirichlet 积分 ∫0∞sin⁡x/x dx\int_0^\infty\sin x/x\,dx。

Kai​

(1) パラメータ表示より

∫Crf(z)z dz=i∫0πf(reiθ)dθ⟶iπ.\int_{C_r}\frac{f(z)}z\,dz=i\int_0^\pi f(re^{i\theta})d\theta\longrightarrow\boxed{i\pi}.

ここで原点での連続性により被積分関数は一様に 11 に近づく。

(2) sin⁡θ≥2θ/π\sin\theta\ge2\theta/\pi（0≤θ≤π/20\le\theta\le\pi/2）から

∣∫Creizz dz∣≤2∫0π/2e−rsin⁡θdθ≤πr(1−e−r)⟶0.\left|\int_{C_r}\frac{e^{iz}}z\,dz\right| \le2\int_0^{\pi/2}e^{-r\sin\theta}d\theta \le\frac\pi r(1-e^{-r})\longrightarrow0.

(3) 上半平面で原点を半径 ϵ\epsilon の半円で避ける経路をとる。Cauchy の積分定理より

∫−R−ϵeixx dx+∫ϵReixx dx−∫Cϵeizz dz+∫CReizz dz=0.\int_{-R}^{-\epsilon}\frac{e^{ix}}x\,dx+\int_\epsilon^R\frac{e^{ix}}x\,dx -\int_{C_\epsilon}\frac{e^{iz}}z\,dz+\int_{C_R}\frac{e^{iz}}z\,dz=0.

最初の二項の和は 2i∫ϵRsin⁡x/x dx2i\int_\epsilon^R\sin x/x\,dx。(1),(2) により ϵ↓0,R→∞\epsilon\downarrow0,R\to\infty とすると

∫0∞sin⁡xx dx=π2.\boxed{\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac\pi2}.

原点では sin⁡x/x\sin x/x は連続に拡張され、無限遠では部分積分により収束するので、これは通常の広義積分である。

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