千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 B4

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• Simplicial-and-Cellular-Homology

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$S=\{(z,w)\in\mathbb C^2:|z|^2+|w|^2=1\}$、$T=\{(z,w):|z|^2=|w|^2=1/2\}$ とする。$J=\{(z,0):|z|=1\}$、$K=\{(0,w):|w|=1\}$、$N=(0,i)$ とおく。

1. 包含 $J\hookrightarrow S\setminus K$ はホモトピー同値であることを示せ。
2. 包含 $T\hookrightarrow S\setminus(J\cup K)$ はホモトピー同値であることを示せ。
3. $H_q(S\setminus(J\cup K);\mathbb Z)$ を求めよ。
4. $H_q(S\setminus(J\cup\{N\});\mathbb Z)$ を求めよ。

题目描述

在三维球面 $S\subset\mathbb C^2$ 中，令 $J,K$ 为两坐标圆，$T$ 为两坐标绝对值均等于 $1/\sqrt2$ 的环面，$N=(0,i)$。(1) 证明 $J\hookrightarrow S\setminus K$ 为同伦等价；(2) 证明 $T\hookrightarrow S\setminus(J\cup K)$ 为同伦等价；(3) 求后者的整系数同调；(4) 求 $S\setminus(J\cup\{N\})$ 的整系数同调。

Kai

(1) $S\setminus K$ の点は $z\ne0$ なので

$$H_t(z,w)=\left(\frac z{|z|}\sqrt{1-(1-t)^2|w|^2},(1-t)w\right)$$

は $J$ への強変形収縮を与える。

(2) $z,w\ne0$ のもとで $r=|z|^2\in(0,1)$、$r_t=(1-t)r+t/2$ とし

$$H_t(z,w)=\left(\sqrt{r_t}\frac z{|z|},\sqrt{1-r_t}\frac w{|w|}\right)$$

とおけば $T$ への強変形収縮となる。

(3) $T\simeq S^1\times S^1$ より

$$\boxed{H_q(S\setminus(J\cup K);\mathbb Z)= \begin{cases}\mathbb Z&q=0,2,\\\mathbb Z^2&q=1,\\0&q\ge3.\end{cases}}$$

(4) $M=S\setminus J$ は $\{z:|z|<1\}\times S^1$ と同相であり、$H_0(M)=H_1(M)=\mathbb Z$、その他は零である。$N$ の小球近傍での切除定理により

$$H_q(M,M\setminus\{N\};\mathbb Z)\simeq H_q(B^3,B^3\setminus\{0\};\mathbb Z) =\begin{cases}\mathbb Z&q=3,\\0&q\ne3.\end{cases}$$

対の長完全列より

$$\boxed{H_q(M\setminus\{N\};\mathbb Z)=\begin{cases}\mathbb Z&q=0,1,2,\\0&q\ge3.\end{cases}}$$