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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 B3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

原点を含む開集合 U⊂R2U\subset\mathbb R^2 上の滑らかな関数 ff は f(0)=0f(0)=0 を満たし、そのグラフ MM の原点での接平面は xyxy 平面である。p(x,y)=(x,y,f(x,y))p(x,y)=(x,y,f(x,y))、e=n∘pe=n\circ p とし、nn は上向き単位法線とする。

  1. Gauss 曲率 KK を p,ep,e の偏微分ベクトルの内積で表せ。
  2. 原点での KK を ff の偏微分係数で表せ。
  3. ex×ey=K(px×py)e_x\times e_y=K(p_x\times p_y) を示せ。

题目描述​

设光滑函数图面 p(x,y)=(x,y,f(x,y))p(x,y)=(x,y,f(x,y)) 过原点，原点切平面为 xyxy 平面，ee 为向上的单位法向量。(1) 用 p,ep,e 的偏导向量内积表示高斯曲率；(2) 求原点的曲率；(3) 证明 ex×ey=K(px×py)e_x\times e_y=K(p_x\times p_y)。

Kai​

(1) 第一基本形式の行列を G=((pi⋅pj))i,j=x,yG=((p_i\cdot p_j))_{i,j=x,y}、第二基本形式の行列を B=((pij⋅e))B=((p_{ij}\cdot e)) とおく。pi⋅e=0p_i\cdot e=0 の微分から pij⋅e=−pi⋅ejp_{ij}\cdot e=-p_i\cdot e_j なので

K=(px⋅ex)(py⋅ey)−(px⋅ey)(py⋅ex)(px⋅px)(py⋅py)−(px⋅py)2.\boxed{K=\frac{(p_x\cdot e_x)(p_y\cdot e_y)-(p_x\cdot e_y)(p_y\cdot e_x)}{(p_x\cdot p_x)(p_y\cdot p_y)-(p_x\cdot p_y)^2}}.

(2) 接平面の条件から fx(0)=fy(0)=0f_x(0)=f_y(0)=0。従って原点では G=I2G=I_2、e=(0,0,1)e=(0,0,1)、BB は ff の Hessian 行列であり

K(0)=fxx(0)fyy(0)−fxy(0)2.\boxed{K(0)=f_{xx}(0)f_{yy}(0)-f_{xy}(0)^2}.

(3) e⋅e=1e\cdot e=1 より ex,eye_x,e_y は接平面に属する。[ex ey]=[px py]C[e_x\ e_y]=[p_x\ p_y]C と書けば B=−GCB=-GC なので det⁡C=det⁡B/det⁡G=K\det C=\det B/\det G=K。外積の交代双線形性から

ex×ey=(det⁡C)(px×py)=K(px×py).e_x\times e_y=(\det C)(p_x\times p_y)=K(p_x\times p_y).
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