千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 B2

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• Prime-Ideals-and-Nilradical

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

単位元をもつ可換環 $R$ はただ一つの素イデアル $\mathfrak p$ をもつ。冪零元全体を $N$ とする。

1. $N$ はイデアルであることを示せ。
2. $x\notin\mathfrak p$ なら $x$ は単元であることを示せ。
3. $N=\mathfrak p$ を示せ。

题目描述

设含幺交换环 $R$ 只有一个素理想 $\mathfrak p$，$N$ 为所有幂零元的集合。(1) 证明 $N$ 为理想；(2) 证明不在 $\mathfrak p$ 中的元素可逆；(3) 证明 $N=\mathfrak p$。

Kai

(1) $x^m=0,y^n=0$ なら $(x+y)^{m+n-1}=0$。二項展開の各項には $x^m$ または $y^n$ が因子として現れるからである。また $(rx)^m=r^mx^m=0$、$(-x)^m=0$。従って $N$ はイデアルである。

(2) $x$ が単元でなければ $(x)$ は真のイデアルなので極大イデアル $\mathfrak m$ に含まれる。極大イデアルは素であり、仮定から $\mathfrak m=\mathfrak p$。これは $x\notin\mathfrak p$ に反する。

(3) 素イデアルはすべての冪零元を含むので $N\subseteq\mathfrak p$。逆に $x\in\mathfrak p$ が冪零でないと仮定し、$S=\{1,x,x^2,\ldots\}$ とおく。$0\notin S$ なので、Zorn の補題から $S$ と交わらないイデアルの中で極大な $I$ が存在する。

$ab\in I$、$a,b\notin I$ なら、極大性から $x^r\in I+(a)$、$x^s\in I+(b)$ となる $r,s$ がある。両者を掛けると $x^{r+s}\in I$ となり矛盾する。従って $I$ は素イデアルであり $I=\mathfrak p$。しかし $x\in S\cap\mathfrak p$ は矛盾である。よって $\mathfrak p\subseteq N$。