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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 B1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

G=GL⁡3(C)G=\operatorname{GL}_3(\mathbb C)、ω\omega を原始三乗根とする。H1H_1 は座標の交換 (12),(23)(12),(23) に対応する置換行列で生成される部分群、H2={diag⁡(ωa,ωb,ωc):a,b,c∈{0,1,2}}H_2=\{\operatorname{diag}(\omega^a,\omega^b,\omega^c):a,b,c\in\{0,1,2\}\}、H=⟨H1,H2⟩H=\langle H_1,H_2\rangle とする。

  1. ∣H1∣|H_1|、2. ∣H2∣|H_2| を求めよ。
  2. H2◃HH_2\triangleleft H を示せ。
  3. H/H2≃H1H/H_2\simeq H_1 を示せ。
  4. HH の Sylow 33 部分群を一つ、生成元で与えよ。

题目描述​

在 GL⁡3(C)\operatorname{GL}_3(\mathbb C) 中，H1H_1 由坐标交换 (12),(23)(12),(23) 的置换矩阵生成；H2H_2 为对角元均为三次单位根的对角矩阵群；H=⟨H1,H2⟩H=\langle H_1,H_2\rangle。求两个子群的阶，证明 H2H_2 正规且商群同构于 H1H_1，并给出一个 Sylow 33 子群的生成元。

Kai​

(1) 二つの隣接互換は S3S_3 を生成し、置換行列との対応は単射なので ∣H1∣=6\boxed{|H_1|=6}。

(2) 対角成分を独立に選べるから ∣H2∣=33=27\boxed{|H_2|=3^3=27}。

(3) 置換行列による共役は対角成分を置換するので H1H_1 は H2H_2 を正規化する。H2H_2 自身も H2H_2 を正規化するから、生成される HH において H2H_2 は正規である。

(4) H=H2H1H=H_2H_1 かつ H1∩H2={I}H_1\cap H_2=\{I\}。従って自然な準同型 H1→H/H2H_1\to H/H_2 は全単射であり、H/H2≃H1H/H_2\simeq H_1。特に ∣H∣=162=2⋅34|H|=162=2\cdot3^4。

(5) P(123)P_{(123)} を三巡回置換行列とすれば、

⟨diag⁡(ω,1,1),diag⁡(1,ω,1),diag⁡(1,1,ω),P(123)⟩\boxed{\left\langle\operatorname{diag}(\omega,1,1),\operatorname{diag}(1,\omega,1),\operatorname{diag}(1,1,\omega),P_{(123)}\right\rangle}

は H2⋊⟨P(123)⟩H_2\rtimes\langle P_{(123)}\rangle で位数 27⋅3=8127\cdot3=81。従って Sylow 33 部分群である。

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