千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 B1

标签：

• Sylow-Subgroups-and-Normalizers
• Group-Homomorphisms-and-Quotient-Groups

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$G=\operatorname{GL}_3(\mathbb C)$、$\omega$ を原始三乗根とする。$H_1$ は座標の交換 $(12),(23)$ に対応する置換行列で生成される部分群、$H_2=\{\operatorname{diag}(\omega^a,\omega^b,\omega^c):a,b,c\in\{0,1,2\}\}$、$H=\langle H_1,H_2\rangle$ とする。

1. $|H_1|$、2. $|H_2|$ を求めよ。
2. $H_2\triangleleft H$ を示せ。
3. $H/H_2\simeq H_1$ を示せ。
4. $H$ の Sylow $3$ 部分群を一つ、生成元で与えよ。

题目描述

在 $\operatorname{GL}_3(\mathbb C)$ 中，$H_1$ 由坐标交换 $(12),(23)$ 的置换矩阵生成；$H_2$ 为对角元均为三次单位根的对角矩阵群；$H=\langle H_1,H_2\rangle$。求两个子群的阶，证明 $H_2$ 正规且商群同构于 $H_1$，并给出一个 Sylow $3$ 子群的生成元。

Kai

(1) 二つの隣接互換は $S_3$ を生成し、置換行列との対応は単射なので $\boxed{|H_1|=6}$。

(2) 対角成分を独立に選べるから $\boxed{|H_2|=3^3=27}$。

(3) 置換行列による共役は対角成分を置換するので $H_1$ は $H_2$ を正規化する。$H_2$ 自身も $H_2$ を正規化するから、生成される $H$ において $H_2$ は正規である。

(4) $H=H_2H_1$ かつ $H_1\cap H_2=\{I\}$。従って自然な準同型 $H_1\to H/H_2$ は全単射であり、$H/H_2\simeq H_1$。特に $|H|=162=2\cdot3^4$。

(5) $P_{(123)}$ を三巡回置換行列とすれば、

$$\boxed{\left\langle\operatorname{diag}(\omega,1,1),\operatorname{diag}(1,\omega,1),\operatorname{diag}(1,1,\omega),P_{(123)}\right\rangle}$$

は $H_2\rtimes\langle P_{(123)}\rangle$ で位数 $27\cdot3=81$。従って Sylow $3$ 部分群である。