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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 A4

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

X1,X2,X3X_1,X_2,X_3 は独立な (0,1)(0,1) 上の一様確率変数であり、Y=min⁡(X1,X2,X3)Y=\min(X_1,X_2,X_3)、Z=max⁡(X1,X2,X3)Z=\max(X_1,X_2,X_3) とする。

  1. X1+X2−X3X_1+X_2-X_3 の期待値と分散を求めよ。
  2. Y,ZY,Z の密度関数を求めよ。
  3. 0<r<s<10<r<s<1 に対して P(r<Y,s>Z)P(r<Y,s>Z) を求めよ。
  4. Y,ZY,Z の共分散を求めよ。

题目描述​

三个随机变量独立且均匀分布于 (0,1)(0,1)，令 YY 为最小值、ZZ 为最大值。求：(1) X1+X2−X3X_1+X_2-X_3 的均值和方差；(2) Y,ZY,Z 的密度；(3) P(r<Y,Z<s)P(r<Y,Z<s)；(4) Cov⁡(Y,Z)\operatorname{Cov}(Y,Z)。

Kai​

(1) 各 XiX_i の期待値は 1/21/2、分散は 1/121/12 で、独立性により

E[X1+X2−X3]=12,Var⁡(X1+X2−X3)=14.\boxed{E[X_1+X_2-X_3]=\frac12,\quad\operatorname{Var}(X_1+X_2-X_3)=\frac14}.

(2) 0<y,z<10<y,z<1 に対して P(Y>y)=(1−y)3P(Y>y)=(1-y)^3、P(Z≤z)=z3P(Z\le z)=z^3 なので

fY(y)=3(1−y)2 1(0,1)(y),fZ(z)=3z2 1(0,1)(z).\boxed{f_Y(y)=3(1-y)^2\,1_{(0,1)}(y),\quad f_Z(z)=3z^2\,1_{(0,1)}(z)}.

(3) 全 XiX_i が (r,s)(r,s) に入る事象なので P(r<Y,Z<s)=(s−r)3\boxed{P(r<Y,Z<s)=(s-r)^3}。

(4) 最小値と最大値となる添字の選び方は 3⋅23\cdot2 通りで、残る値はその間にある。従って同時密度は fY,Z(y,z)=6(z−y)f_{Y,Z}(y,z)=6(z-y)（0<y<z<10<y<z<1）。よって

E[YZ]=6∫01∫0zyz(z−y) dy dz=15.E[YZ]=6\int_0^1\int_0^z yz(z-y)\,dy\,dz=\frac15.

また E[Y]=1/4,E[Z]=3/4E[Y]=1/4,E[Z]=3/4 なので

Cov⁡(Y,Z)=15−1434=180.\boxed{\operatorname{Cov}(Y,Z)=\frac15-\frac14\frac34=\frac1{80}}.
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