千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 A3

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• Hausdorff-Closure-and-Connectedness-in-a-Custom-Topology
• Compactness-and-Connectedness

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. $S=\{1,2,3,4,5\}$ の位相 $\mathcal O$ は $\{1\},\{2,3\},\{3,4\}$ を含む。次は必ず成り立つか理由とともに答えよ：(i) $\{5\}$ は開、(ii) $\{5\}$ は閉、(iii) $\{1,3\}$ は開、(iv) 単射 $f:S\to\mathbb R$ は連続（$\mathbb R$ は通常の位相）。
2. $\mathcal U=\{(-\infty,a):a\in\mathbb R\}$ を含む最小の位相 $\widetilde{\mathcal U}$ について、(i) その全体を求め、(ii) $(0,1]$ と $[0,1)$ がコンパクトか判定せよ。

题目描述

(1) 集合 $S=\{1,2,3,4,5\}$ 的拓扑含 $\{1\},\{2,3\},\{3,4\}$。判断是否必有：$\{5\}$ 开、$\{5\}$ 闭、$\{1,3\}$ 开、每个到通常实数空间的单射连续。(2) 求包含所有左开半直线 $(-\infty,a)$ 的最小拓扑，并判断其中 $(0,1]$、$[0,1)$ 的紧致性。

Kai

(1)(i) 必ずしも成り立たない。$\mathcal O=\mathcal P(\{1,2,3,4\})\cup\{S\}$ は条件を満たすが $\{5\}$ は開でない。

(ii) 成り立つ。$S\setminus\{5\}=\{1\}\cup\{2,3\}\cup\{3,4\}$ は開である。

(iii) 成り立つ。$\{1,3\}=\{1\}\cup(\{2,3\}\cap\{3,4\})$ は開である。

(iv) 必ずしも成り立たない。(i) の位相で $f(i)=i$ とすると、$f^{-1}((4.5,5.5))=\{5\}$ は開でない。

(2)(i)

$$\boxed{\widetilde{\mathcal U}=\{\varnothing,\mathbb R\}\cup\mathcal U}.$$

左半直線の任意和は上端の上限を上端とする左半直線または $\mathbb R$ であり、有限交叉は上端の最小値を上端とする左半直線である。よってこれは位相であり、明らかに最小である。

(ii) $(0,1]$ はコンパクト。任意の開被覆から $1$ を含む一つの開集合を選べば、それが $(0,1]$ 全体を含む。一方、$[0,1)$ はコンパクトでない。相対開集合 $[0,1)\cap(-\infty,1-1/n)$（$n\ge2$）の族は全体を覆うが、有限部分族では $1$ に十分近い点を覆えない。