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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 A2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

  1. δ>0\delta>0、an≠0a_n\ne0、an+1−an≥δa_{n+1}-a_n\ge\delta のとき ∑n=1∞an−2\sum_{n=1}^{\infty}a_n^{-2} は収束することを示せ。
  2. ∑bn2<∞\sum b_n^2<\infty ならば ∑bn/n\sum b_n/n は絶対収束することを示せ。
  3. ∑n=2∞(−1)n(log⁡n)2∑k=1n1k\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(\log n)^2}\sum_{k=1}^n\frac1k の収束を示せ。

题目描述​

(1) 若 an≠0a_n\ne0 且 an+1−an≥δ>0a_{n+1}-a_n\ge\delta>0，证明 ∑an−2\sum a_n^{-2} 收敛；(2) 若 ∑bn2\sum b_n^2 收敛，证明 ∑bn/n\sum b_n/n 绝对收敛；(3) 证明 ∑n≥2(−1)n(log⁡n)−2∑k=1n1/k\sum_{n\ge2}(-1)^n(\log n)^{-2}\sum_{k=1}^n1/k 收敛。

Kai​

(1) an≥a1+(n−1)δa_n\ge a_1+(n-1)\delta より、十分大きい nn で an≥δn/2a_n\ge\delta n/2。従って an−2≤4/(δ2n2)a_n^{-2}\le4/(\delta^2n^2) となり、比較判定法で収束する。

(2) Cauchy–Schwarz の不等式から

∑n=1∞∣bn∣n≤(∑bn2)1/2(∑n−2)1/2<∞.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|b_n|}{n}\le\left(\sum b_n^2\right)^{1/2}\left(\sum n^{-2}\right)^{1/2}<\infty.

(3) Hn=∑k=1n1/kH_n=\sum_{k=1}^n1/k、cn=Hn/(log⁡n)2c_n=H_n/(\log n)^2 とおく。log⁡(n+1)≤Hn≤1+log⁡n\log(n+1)\le H_n\le1+\log n より cn→0c_n\to0。また

(log⁡(n+1))2−(log⁡n)2≥2log⁡nn+1.(\log(n+1))^2-(\log n)^2 \ge\frac{2\log n}{n+1}.

したがって Hn≥log⁡nH_n\ge\log n を用いると

Hn((log⁡(n+1))2−(log⁡n)2)≥2(log⁡n)2n+1>(log⁡n)2n+1,H_n\bigl((\log(n+1))^2-(\log n)^2\bigr) \ge\frac{2(\log n)^2}{n+1}>\frac{(\log n)^2}{n+1},

すなわち cn+1<cnc_{n+1}<c_n。交代級数判定法により与えられた級数は収束する。

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