千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 A2

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. $\delta>0$、$a_n\ne0$、$a_{n+1}-a_n\ge\delta$ のとき $\sum_{n=1}^{\infty}a_n^{-2}$ は収束することを示せ。
2. $\sum b_n^2<\infty$ ならば $\sum b_n/n$ は絶対収束することを示せ。
3. $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(\log n)^2}\sum_{k=1}^n\frac1k$ の収束を示せ。

题目描述

(1) 若 $a_n\ne0$ 且 $a_{n+1}-a_n\ge\delta>0$，证明 $\sum a_n^{-2}$ 收敛；(2) 若 $\sum b_n^2$ 收敛，证明 $\sum b_n/n$ 绝对收敛；(3) 证明 $\sum_{n\ge2}(-1)^n(\log n)^{-2}\sum_{k=1}^n1/k$ 收敛。

Kai

(1) $a_n\ge a_1+(n-1)\delta$ より、十分大きい $n$ で $a_n\ge\delta n/2$。従って $a_n^{-2}\le4/(\delta^2n^2)$ となり、比較判定法で収束する。

(2) Cauchy–Schwarz の不等式から

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|b_n|}{n}\le\left(\sum b_n^2\right)^{1/2}\left(\sum n^{-2}\right)^{1/2}<\infty.$$

(3) $H_n=\sum_{k=1}^n1/k$、$c_n=H_n/(\log n)^2$ とおく。$\log(n+1)\le H_n\le1+\log n$ より $c_n\to0$。また

$$(\log(n+1))^2-(\log n)^2 \ge\frac{2\log n}{n+1}.$$

したがって $H_n\ge\log n$ を用いると

$$H_n\bigl((\log(n+1))^2-(\log n)^2\bigr) \ge\frac{2(\log n)^2}{n+1}>\frac{(\log n)^2}{n+1},$$

すなわち $c_{n+1}<c_n$。交代級数判定法により与えられた級数は収束する。