千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 A1

标签：

• Quadratic-Form
• Orthogonal-Diagonalization-of-Symmetric-Matrices

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$V=\mathbb R^3$ の標準基底を $v_1,v_2,v_3$ とする。対称双線形形式 $(\ ,\ )$ に対して $A=((v_i,v_j))$ とおく。

1. 形式が非退化なら $\det A\ne0$ を示せ。
2. 形式が正定値なら $A$ の固有値がすべて正の実数であることを示せ。
3. $A=\begin{pmatrix}n&-1&0\\-1&n&-1\\0&-1&n\end{pmatrix}$ の形式が正定値となる最小の整数 $n$ を求めよ。
4. (3) の最小の $n$ に対し、$B=((w_i,w_j))$ が対角行列になる基底 $w_1,w_2,w_3$ を求めよ。

题目描述

设 $\mathbb R^3$ 上对称双线性型在标准基下的矩阵为 $A$。(1) 非退化则 $\det A\ne0$；(2) 正定则全部特征值为正实数；(3) 对角元为整数 $n$、相邻副对角元为 $-1$、其余为零时，求正定的最小 $n$；(4) 在此 $n$ 下求使双线性型对角化的一组基。

Kai

(1) もし $Ac=0$、$c\ne0$，ベクトル $v=\sum c_iv_i$ は任意の $w$ に対して $(v,w)=0$ となる。これは非退化性に反するので $\ker A=0$、従って $\det A\ne0$。

(2) $A$ は実対称行列だから、固有値は実数で実固有ベクトルをとれる。$Au=\lambda u$、$u\ne0$ なら

$$0<u^TAu=\lambda u^Tu$$

より $\lambda>0$。

(3) 特性多項式は $(t-n)((t-n)^2-2)$ なので固有値は $n,n\pm\sqrt2$。正定値の必要十分条件は $n>\sqrt2$ であり、最小の整数は $\boxed{2}$。

(4) 例えば

$$w_1=\frac1{\sqrt2}(1,0,-1)^T,\quad w_2=\frac12(1,-\sqrt2,1)^T,\quad w_3=\frac12(1,\sqrt2,1)^T$$

とすれば、これらは標準内積に関して正規直交する固有ベクトルである。従って

$$\boxed{B=\operatorname{diag}(2,2+\sqrt2,2-\sqrt2)}.$$