千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2021年8月実施 専門 A0

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(I) 空でない集合間の写像 $f:X\to Y$ について、次の命題の真偽を判定し、証明または反例を与えよ。$\subset$ は包含を表す。

(a) 任意の $A_1,A_2\subseteq X$ に対し $f^{-1}(f(A_1)\cup f(A_2))\subseteq A_1\cup A_2$。

(b) 任意の $B_1,B_2\subseteq Y$ に対し $f(f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2))\subseteq B_1\cap B_2$。

(c) 任意の $A\subseteq X,B\subseteq Y$ に対し $f(A)\cap B=f(A\cap f^{-1}(B))$。

(d) 単射 $X\to Y$ が存在すれば全射 $Y\to X$ が存在する。

(II) 空でない集合 $X$ の冪集合を $\mathcal P(X)$ とする。(1) 単射 $X\to\mathcal P(X)$ を構成し、(2) $|X|<|\mathcal P(X)|$ を示せ。

题目描述

(I) 对非空集合间的映射 $f:X\to Y$，判断以下命题，正确则证明，错误则举反例：

(a) 对任意 $A_1,A_2\subseteq X$，有 $f^{-1}(f(A_1)\cup f(A_2))\subseteq A_1\cup A_2$。

(b) 对任意 $B_1,B_2\subseteq Y$，有 $f(f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2))\subseteq B_1\cap B_2$。

(c) 对任意 $A\subseteq X,B\subseteq Y$，有 $f(A)\cap B=f(A\cap f^{-1}(B))$。

(d) 若存在单射 $X\to Y$，则存在满射 $Y\to X$。

(II) 构造 $X$ 到幂集 $\mathcal P(X)$ 的单射，并证明 $|X|<|\mathcal P(X)|$。

Kai

(I)(a) 偽。$X=\{0,1\},Y=\{0\}$、$f$ を定値写像、$A_1=A_2=\{0\}$ とすれば、左辺は $X$、右辺は $\{0\}$ となる。

(b) 真。左辺の元は $f(x)$ と書け、$f(x)\in B_1$ かつ $f(x)\in B_2$ なので右辺に属する。

(c) 真。$y\in f(A)\cap B$ は「ある $x\in A$ に対して $f(x)=y\in B$」と同値であり、これは $y\in f(A\cap f^{-1}(B))$ と同値である。

(d) 真。$x_0\in X$ を固定する。単射 $f$ に対し、$y\in f(X)$ ならその一意な逆像を、そうでなければ $x_0$ を返す写像 $g:Y\to X$ を定める。$g(f(x))=x$ だから全射である。

(II)(1) $x\mapsto\{x\}$ は単射である。

(2) 任意の写像 $F:X\to\mathcal P(X)$ に対して $D=\{x\in X:x\notin F(x)\}$ とおく。$D=F(a)$ なら $a\in D\iff a\notin D$ となり矛盾する。従って全射は存在しない。(1) と合わせて $|X|<|\mathcal P(X)|$。