千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 B9

标签：

• Maximum-Likelihood-Estimation
• Fisher-Information-and-Cramer-Rao-Bound

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X_1,\ldots,X_n$ は独立に $N(\mu,1)$ に従い、$\mu\in\mathbb R$ は未知である。(1) 対数尤度、(2) 最尤推定量、(3) その一致性、(4) 標本全体の Fisher 情報量、(5) 最尤推定量の有効性を求め、または判定せよ。

题目描述

设样本独立同分布于 $N(\mu,1)$，$\mu$ 未知。求对数似然、最大似然估计、Fisher 信息，并判断该估计是否相合、是否有效。

Kai

(1)

$$\ell(\mu)=-\frac n2\log(2\pi)-\frac12\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2.$$

(2) $\ell'(\mu)=\sum X_i-n\mu$、$\ell''(\mu)=-n<0$ より $\boxed{\widehat\mu=\overline X}$。

(3) $E[\overline X]=\mu$、$\operatorname{Var}(\overline X)=1/n$ なので、Chebyshev の不等式より $P(|\overline X-\mu|>\epsilon)\le1/(n\epsilon^2)\to0$。従って一致推定量である。

(4) $\boxed{I_n(\mu)=-E[\ell''(\mu)]=n}$。

(5) $\overline X$ は不偏であり、その分散は $1/n=1/I_n(\mu)$ と Cramér–Rao 下限に一致する。従って有効推定量である。