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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 B8

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

各 XiX_i は標準正規分布に従うが、独立性は仮定しない。

  1. x>0x>0 に対して
(1x−1x3)e−x2/2≤∫x∞e−t2/2dt≤1xe−x2/2\left(\frac1x-\frac1{x^3}\right)e^{-x^2/2}\le\int_x^\infty e^{-t^2/2}dt\le\frac1x e^{-x^2/2}

を示せ。 2. P(max⁡i≤nXi>2log⁡n)→0P(\max_{i\le n}X_i>\sqrt{2\log n})\to0 を示せ。 3. 非負整数値確率変数 NN が 0<E[N2]<∞0<E[N^2]<\infty を満たすとき、P(N≥1)≥E[N]2/E[N2]P(N\ge1)\ge E[N]^2/E[N^2] を示せ。 4. 0<ϵ<10<\epsilon<1 とし、rn>0,rn→1r_n>0,r_n\to1 が存在して、∣i−j∣≥log⁡n|i-j|\ge\log n のとき

P(Xi≥un,Xj≥un)≤rnP(Xi≥un)P(Xj≥un),un=(1−ϵ)2log⁡nP(X_i\ge u_n,X_j\ge u_n)\le r_nP(X_i\ge u_n)P(X_j\ge u_n),\quad u_n=(1-\epsilon)\sqrt{2\log n}

を満たすとする。P(max⁡i≤nXi>un)→1P(\max_{i\le n}X_i>u_n)\to1 を示せ。

题目描述​

各 XiX_i 都服从标准正态分布，但未假设独立。(1) 证明所列正态尾积分上下界；(2) 证明 P(max⁡i≤nXi>2log⁡n)→0P(\max_{i\le n}X_i>\sqrt{2\log n})\to0；(3) 对非负整数值随机变量证明 P(N≥1)≥E[N]2/E[N2]P(N\ge1)\ge E[N]^2/E[N^2]；(4) 若距离至少 log⁡n\log n 的指标满足题中尾事件近似独立的上界，证明最大值超过 (1−ϵ)2log⁡n(1-\epsilon)\sqrt{2\log n} 的概率趋于 11。

Kai​

(1) I(x)=∫x∞e−t2/2dtI(x)=\int_x^\infty e^{-t^2/2}dt とおく。部分積分から

I(x)=e−x2/2x−∫x∞e−t2/2t2dt.I(x)=\frac{e^{-x^2/2}}x-\int_x^\infty\frac{e^{-t^2/2}}{t^2}dt.

第二項は非負なので上界を得る。また第二項は x−2I(x)≤x−3e−x2/2x^{-2}I(x)\le x^{-3}e^{-x^2/2} 以下だから下界を得る。

(2) 和事象の評価と (1) より

P(max⁡i≤nXi>2log⁡n)≤nP(X1>2log⁡n)≤14πlog⁡n→0.P\left(\max_{i\le n}X_i>\sqrt{2\log n}\right) \le nP(X_1>\sqrt{2\log n})\le\frac1{\sqrt{4\pi\log n}}\to0.

(3) Cauchy–Schwarz の不等式から E[N]=E[N1{N≥1}]≤E[N2]P(N≥1)E[N]=E[N1_{\{N\ge1\}}]\le\sqrt{E[N^2]P(N\ge1)}。

(4) pn=P(X1≥un)p_n=P(X_1\ge u_n)、Nn=∑i=1n1{Xi≥un}N_n=\sum_{i=1}^n1_{\{X_i\ge u_n\}} とおく。(1) より a=(1−ϵ)2<1a=(1-\epsilon)^2<1 として、十分大きい nn で

pn≥c n−alog⁡n,npnlog⁡n→∞.p_n\ge c\,\frac{n^{-a}}{\sqrt{\log n}},\qquad \frac{np_n}{\log n}\to\infty.

∣i−j∣<log⁡n|i-j|<\log n となる順序対は高々 n(2⌈log⁡n⌉+1)n(2\lceil\log n\rceil+1) 個で、それぞれの同時確率は pnp_n 以下。それ以外には仮定を用いて

E[Nn2]≤n(2⌈log⁡n⌉+1)pn+rnn2pn2.E[N_n^2]\le n(2\lceil\log n\rceil+1)p_n+r_nn^2p_n^2.

従って (3) により

P(Nn≥1)≥1rn+(2⌈log⁡n⌉+1)/(npn)⟶1.P(N_n\ge1)\ge\frac1{r_n+(2\lceil\log n\rceil+1)/(np_n)}\longrightarrow1.

有限個の正規変数が unu_n に等しい確率は零なので、≥un\ge u_n を >un>u_n に替えても同じである。

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