千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 B7

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• Bounded-Linear-Operator

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$L^1(0,1)$ において $[Tf](x)=\int_x^1 f(t)/t\,dt$ と定める。

1. $T:L^1(0,1)\to L^1(0,1)$ は有界線形作用素であることを示し、作用素ノルムを求めよ。線形性の証明は省略してよい。
2. $T$ の固有値をすべて求め、存在しない場合には証明せよ。

题目描述

在 $L^1(0,1)$ 上定义 $Tf(x)=\int_x^1 f(t)/t\,dt$。(1) 证明 $T$ 有界并求算子范数；(2) 求出全部特征值，若不存在则证明。

Kai

(1) Tonelli の定理より

$$\|Tf\|_1\le\int_0^1\int_x^1\frac{|f(t)|}{t}\,dt\,dx =\int_0^1\frac{|f(t)|}{t}\int_0^t dx\,dt=\|f\|_1.$$

$f\equiv1$ では $Tf(x)=-\log x$、$\|Tf\|_1=1=\|f\|_1$ なので $\boxed{\|T\|=1}$。

(2) $Tf$ は任意の $[a,1]$（$a>0$）上で絶対連続で、$(Tf)'=-f/x$ がほとんど至る所成立する。$Tf=0$ なら微分して $f=0$ となるので $0$ は固有値でない。

$Tf=\lambda f$、$\lambda\ne0$ とする。$f$ の代表元を $g=Tf/\lambda$ に取り直すと、$g$ は各 $[a,1]$ で絶対連続、$g(1)=0$、かつ

$$\lambda g'(x)=-g(x)/x.$$

積分因子 $x^{1/\lambda}$ を掛けると $(x^{1/\lambda}g(x))'=0$。終端条件 $g(1)=0$ より各 $[a,1]$ で $g=0$。従って $f=0$ となるため、$\boxed{T\text{ は固有値をもたない}}$。