千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 B6

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• Fundamental-Matrix

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

連続な $n\times n$ 行列 $A(t)$ に対し、$X(t)$ を $x'=A(t)x$ の基本行列とする。

1. $Z'=A(t)Z-ZA(t)$ の全解が、定数行列 $P$ を用いて $Z(t)=X(t)PX(t)^{-1}$ と表されることを示せ。
2. $A(t+T)=A(t)$ のとき、この行列微分方程式に周期 $T$ の解が存在することを示せ。

题目描述

设 $A(t)$ 连续，$X(t)$ 是 $x'=A(t)x$ 的基本解矩阵。(1) 证明矩阵方程 $Z'=AZ-ZA$ 的所有解恰为 $Z=XPX^{-1}$，其中 $P$ 为常矩阵；(2) 若 $A$ 具有周期 $T$，证明该矩阵方程存在周期 $T$ 的解。

Kai

(1) $X$ は可逆であり、$(X^{-1})'=-X^{-1}A$。従って解 $Z$ に対して

$$\frac{d}{dt}(X^{-1}ZX) =X^{-1}(-AZ+Z'+ZA)X=0.$$

よって $X^{-1}ZX=P$ は定数行列である。逆に $Z=XPX^{-1}$ を微分すれば

$$Z'=AXPX^{-1}-XPX^{-1}A=AZ-ZA$$

となる。

(2) $\boxed{Z(t)=I_n}$ とすれば $Z'=0=A(t)I_n-I_nA(t)$ かつ $Z(t+T)=Z(t)$。従って非零の周期解が存在する。