千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 B5

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• 柯西–黎曼方程
• 高阶极点处的留数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. 実関数 $u,v$ は $(x_0,y_0)$ で全微分可能とする。$f=u+iv$、$z_0=x_0+iy_0$ とし、$df_{z_0}(a+ib)=f_x(z_0)a+f_y(z_0)b$ と定める。$f$ が $z_0$ で複素微分可能であることと、$df_{z_0}$ が $\mathbb C$ 線形であることの同値性を示せ。
2. $n$ を正整数、$R>1$ とする。$C$ は実軸上を $-R$ から $R$ に進み、上半円 $Re^{i\theta}$（$0\le\theta\le\pi$）を通って戻る閉曲線とする。(a) $\int_C(1+z^2)^{-n}dz$、(b) $\int_0^\infty(1+x^2)^{-n}dx$ を求めよ。

题目描述

(1) 设 $u,v$ 在 $(x_0,y_0)$ 全微分可微，$f=u+iv$。证明 $f$ 在 $z_0=x_0+iy_0$ 复可微当且仅当实微分 $df_{z_0}(a+ib)=f_xa+f_yb$ 是复线性的。(2) 对正整数 $n$，计算沿正向上半圆闭路 $C$（半径 $R>1$）的积分 $\int_C(1+z^2)^{-n}dz$，以及 $\int_0^\infty(1+x^2)^{-n}dx$。

Kai

(1) 実全微分可能性から

$$f(z_0+h)-f(z_0)=df_{z_0}(h)+o(|h|).$$

$df_{z_0}$ が複素線形なら $df_{z_0}(h)=df_{z_0}(1)h$ なので $f'(z_0)=df_{z_0}(1)$。逆に複素微分可能なら、実軸方向と虚軸方向の差商から $f_x(z_0)=f'(z_0)$、$f_y(z_0)=if'(z_0)$。従って $df_{z_0}(h)=f'(z_0)h$ である。

(2)(a) 内部の極は $i$ のみで、その留数は

$$\operatorname{Res}_{z=i}\frac1{(1+z^2)^n} =\frac{(-1)^{n-1}(2n-2)!}{((n-1)!)^2(2i)^{2n-1}}.$$

留数定理により

$$\boxed{\int_C\frac{dz}{(1+z^2)^n}=\frac{\pi(2n-2)!}{2^{2n-2}((n-1)!)^2}}.$$

(b) 上半円上の積分の絶対値は $\pi R/(R^2-1)^n\to0$。実軸の被積分関数は偶関数なので

$$\boxed{\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^n}=\frac{\pi(2n-2)!}{2^{2n-1}((n-1)!)^2}}.$$