跳到主要内容

千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 B4

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

α=[v,w]\alpha=[v,w] が定める鎖複体を C∗C_* とする。σ=[v0,v1,w1]\sigma=[v_0,v_1,w_1] と τ=[v0,w0,w1]\tau=[v_0,w_0,w_1] が辺 [v0,w1][v_0,w_1] を共有して定める鎖複体を C∗′C'_* とする。頂点の対応 f(v)=v0,f(w)=w0f(v)=v_0,f(w)=w_0 と g(v)=v1,g(w)=w1g(v)=v_1,g(w)=w_1 から誘導される鎖写像を f,gf,g とする。

  1. ∂q+1′Dq+Dq−1∂q=gq−fq\partial'_{q+1}D_q+D_{q-1}\partial_q=g_q-f_q を満たす準同型 Dq:Cq→Cq+1′D_q:C_q\to C'_{q+1} を具体的に与えよ。
  2. 一般の鎖複体間の鎖写像 f,gf,g が同じ式を満たす DqD_q をもつとき、誘導されるホモロジー準同型 f∗,g∗f_*,g_* は一致することを示せ。

题目描述​

边 [v,w][v,w] 定义链复形 C∗C_*；两个三角形 σ=[v0,v1,w1]\sigma=[v_0,v_1,w_1]、τ=[v0,w0,w1]\tau=[v_0,w_0,w_1] 共享边 [v0,w1][v_0,w_1]，定义 C∗′C'_*。映射 ff 把 v,wv,w 映为 v0,w0v_0,w_0，gg 映为 v1,w1v_1,w_1。(1) 构造满足 ∂′D+D∂=g−f\partial'D+D\partial=g-f 的链同伦；(2) 对一般链复形证明链同伦的映射诱导相同的同调映射。

Kai​

(1) 次のように定める。

D0(v)=[v0,v1],D0(w)=[w0,w1],D1(α)=σ−τ,D_0(v)=[v_0,v_1],\quad D_0(w)=[w_0,w_1],\quad D_1(\alpha)=\sigma-\tau,

その他の DqD_q は零とする。頂点について ∂′D0(v)=v1−v0\partial'D_0(v)=v_1-v_0、∂′D0(w)=w1−w0\partial'D_0(w)=w_1-w_0。また

∂′(σ−τ)=[v1,w1]+[v0,v1]−[w0,w1]−[v0,w0].\partial'(\sigma-\tau)=[v_1,w_1]+[v_0,v_1]-[w_0,w_1]-[v_0,w_0].

これに D0∂α=[w0,w1]−[v0,v1]D_0\partial\alpha=[w_0,w_1]-[v_0,v_1] を加えると g1(α)−f1(α)g_1(\alpha)-f_1(\alpha) になる。従ってすべての次数で所要の式が成立する。

(2) qq 次サイクル zz に対し ∂z=0\partial z=0 なので

gq(z)−fq(z)=∂q+1′Dq(z).g_q(z)-f_q(z)=\partial'_{q+1}D_q(z).

右辺は境界であり、[gq(z)]=[fq(z)][g_q(z)]=[f_q(z)]。従って各次数で g∗=f∗g_*=f_* である。

本页目录