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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 B3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

U1,U2U_1,U_2 をそれぞれ座標 (x1,y1),(x2,y2)(x_1,y_1),(x_2,y_2) をもつ R2\mathbb R^2 とし、Vi=Ui∖{0}V_i=U_i\setminus\{0\} とする。φ:V1→V2\varphi:V_1\to V_2 を

x2=x1x12+y12,y2=−y1x12+y12x_2=\frac{x_1}{x_1^2+y_1^2},\qquad y_2=-\frac{y_1}{x_1^2+y_1^2}

で定め、α=(1+x22+y22)−2dx2∧dy2\alpha=(1+x_2^2+y_2^2)^{-2}dx_2\wedge dy_2 とする。

  1. φ∗(dx2)\varphi^*(dx_2) を求めよ。
  2. φ∗α\varphi^*\alpha を求めよ。
  3. φ∗α\varphi^*\alpha が U1U_1 上へ一意に拡張できることを示せ。
  4. V1,V2V_1,V_2 を φ\varphi で同一視して得られる S2S^2 上へ、α\alpha が一意な微分形式 ω\omega に拡張できることを示せ。
  5. 適当な向きのもとで ∫S2ω\int_{S^2}\omega を求めよ。

题目描述​

取两张平面坐标图，删去原点后用 φ(x,y)=(x/(x2+y2),−y/(x2+y2))\varphi(x,y)=(x/(x^2+y^2),-y/(x^2+y^2)) 粘合得到球面。设第二张图上的二次微分形式为 α=(1+x22+y22)−2dx2∧dy2\alpha=(1+x_2^2+y_2^2)^{-2}dx_2\wedge dy_2。(1) 求 φ∗dx2\varphi^*dx_2；(2) 求 φ∗α\varphi^*\alpha；(3) 证明其可唯一延拓到第一张图的原点；(4) 证明 α\alpha 唯一延拓为球面上的 ω\omega；(5) 适当选定方向，求 ∫S2ω\int_{S^2}\omega。

Kai​

x=x1,y=y1,r2=x2+y2x=x_1,y=y_1,r^2=x^2+y^2 とおく。

(1)

φ∗dx2=y2−x2r4 dx−2xyr4 dy.\boxed{\varphi^*dx_2=\frac{y^2-x^2}{r^4}\,dx-\frac{2xy}{r^4}\,dy}.

(2) x22+y22=r−2x_2^2+y_2^2=r^{-2}、det⁡Dφ=r−4>0\det D\varphi=r^{-4}>0 より

φ∗α=dx∧dy(1+r2)2.\boxed{\varphi^*\alpha=\frac{dx\wedge dy}{(1+r^2)^2}}.

(3) この係数は原点を含む全平面で滑らかなので拡張を与える。二つの連続な拡張は稠密集合 V1V_1 上で一致するから一意である。

(4) UiU_i 上で ωi=(1+xi2+yi2)−2dxi∧dyi\omega_i=(1+x_i^2+y_i^2)^{-2}dx_i\wedge dy_i と定める。(2) より重なりで φ∗ω2=ω1\varphi^*\omega_2=\omega_1 となるので、これらは大域的な滑らかな 22 形式 ω\omega を定める。一意性は V2V_2 の稠密性から従う。

(5) 両座標の標準の向きは det⁡Dφ>0\det D\varphi>0 により整合する。この向きで、一点を除いて U2U_2 で積分できるから

∫S2ω=∫R2dx dy(1+x2+y2)2=2π∫0∞r(1+r2)2 dr=π.\int_{S^2}\omega=\int_{\mathbb R^2}\frac{dx\,dy}{(1+x^2+y^2)^2} =2\pi\int_0^\infty\frac{r}{(1+r^2)^2}\,dr=\boxed{\pi}.
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