千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 B2

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• Prime-Ideals-and-Nilradical

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

単位元をもつ可換環 $R$ は任意の $x\in R$ に対し $x^3=x$ を満たす。

1. すべての極大イデアルに属する元は $0_R$ のみであることを示せ。
2. 任意の素イデアルは極大イデアルであることを示せ。
3. $R$ は有限で素イデアルが $n$ 個あり、$1_R+1_R$ は単元とする。$|R|$ を求めよ。

题目描述

设含幺交换环 $R$ 满足每个元素 $x$ 都有 $x^3=x$。(1) 证明所有极大理想的交为零；(2) 证明每个素理想都是极大理想；(3) 若 $R$ 有限、共有 $n$ 个素理想且 $2\cdot1_R$ 可逆，求 $|R|$。

Kai

(1) $x$ がすべての極大イデアルに属するとする。$1-x^2$ が単元でなければ、ある極大イデアル $\mathfrak m$ に属する。$x\in\mathfrak m$ も成り立つので $1\in\mathfrak m$ となり矛盾する。従って $1-x^2$ は単元であり、$x(1-x^2)=0$ より $x=0$。

(2) 素イデアル $\mathfrak p$ に対し $D=R/\mathfrak p$ は整域である。$0\ne a\in D$ なら $a(a^2-1)=0$ から $a^2=1$、すなわち $a^{-1}=a$。従って $D$ は体である。

(3) 各剰余体では多項式 $t^3-t$ が全元を根にもつから、その元数は高々 $3$。$2$ は単元なので標数 $2$ ではなく、各剰余体は $\mathbb F_3$ である。異なる極大イデアル $\mathfrak m_1,\ldots,\mathfrak m_n$ は互いに素であり、(1) と中国剰余定理から

$$R\simeq\prod_{i=1}^nR/\mathfrak m_i\simeq\mathbb F_3^n,\qquad\boxed{|R|=3^n}.$$