千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 B1

标签：

• Group-Homomorphisms-and-Quotient-Groups

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

加法群 $\mathbb Q$ と部分群 $\mathbb Z$ の商群 $\mathbb Q/\mathbb Z$ を考える。

1. 単射な群準同型 $\mathbb Z\to\mathbb Q/\mathbb Z$ は存在するか。
2. 有限アーベル群 $G$ から $\mathbb Q/\mathbb Z$ への単射な群準同型が存在すれば、$G$ は巡回群であることを示せ。

题目描述

考虑加法商群 $\mathbb Q/\mathbb Z$。(1) 是否存在单射群同态 $\mathbb Z\to\mathbb Q/\mathbb Z$？(2) 证明：若有限阿贝尔群 $G$ 能单射到 $\mathbb Q/\mathbb Z$，则 $G$ 为循环群。

Kai

(1) 存在しない。$f(1)=a/b+\mathbb Z$（$b\ge1$）と書けば、$f(b)=bf(1)=0$ となるからである。

(2) 有限集合 $f(G)$ の元の代表元の分母の公倍数を $N$ とする。すると

$$f(G)\subseteq\frac1N\mathbb Z/\mathbb Z=\langle1/N+\mathbb Z\rangle.$$

右辺は位数 $N$ の巡回群であり、その部分群も巡回群である。単射性により $G\simeq f(G)$ なので $G$ は巡回群である。