千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 A4

标签：

• Poisson-Distribution
• Central-Limit-Theorem

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X\sim\operatorname{Po}(\mu)$（$\mu>0$）とは $P(X=k)=e^{-\mu}\mu^k/k!$（$k=0,1,\ldots$）であることをいう。

1. $X$ の積率母関数と三次中心積率を求めよ。
2. 独立な $X_i\sim\operatorname{Po}(\mu)$ に対し $Y^{(n)}=\sum_{i=1}^nX_i$ の分布、期待値、分散を求めよ。
3. $(Y^{(n)}-E[Y^{(n)}])/\sqrt n$ の極限分布の名称、期待値、分散を答えよ。

题目描述

设 $X$ 服从参数 $\mu>0$ 的泊松分布。(1) 求矩母函数及三阶中心矩；(2) 对独立同分布的 $X_1,\ldots,X_n$，求 $Y^{(n)}=\sum X_i$ 的分布、均值、方差；(3) 求 $(Y^{(n)}-E[Y^{(n)}])/\sqrt n$ 的极限分布及其均值、方差。

Kai

(1) 定義から

$$M_X(t)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{tk}e^{-\mu}\frac{\mu^k}{k!}=\exp(\mu(e^t-1)).$$

$M'_X(0)=\mu$、$M''_X(0)=\mu^2+\mu$、$M^{(3)}_X(0)=\mu^3+3\mu^2+\mu$ より

$$\boxed{E[(X-E[X])^3]=\mu}.$$

(2) 独立性より $M_{Y^{(n)}}(t)=M_X(t)^n=\exp(n\mu(e^t-1))$。したがって

$$\boxed{Y^{(n)}\sim\operatorname{Po}(n\mu),\quad E[Y^{(n)}]=\operatorname{Var}(Y^{(n)})=n\mu}.$$

(3) $X_i$ は独立同分布で平均 $\mu$、有限分散 $\mu$ をもつので、中心極限定理より

$$\boxed{\frac{Y^{(n)}-n\mu}{\sqrt n}\ \xrightarrow{d}\ N(0,\mu)}.$$

極限は平均 $0$、分散 $\mu$ の正規分布である。