千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 A3

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• Compactness-and-Connectedness

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. 通常の位相をもつ $\mathbb R^2,\mathbb R$ の間の連続写像 $f$ に対し、$A=\{x:f(x)\ge0\}$ とする。$A$ が (i) 開集合、(ii) 閉集合となる $f$ の条件を述べよ。
2. $f(t)=\dfrac{e^t}{1+e^t}(\cos t,\sin t)$ とし、$D=\{(0,0)\}\cup f(\mathbb R)\cup\{(x,y):x^2+y^2=1\}$ とする。$D$ は (i) 開、(ii) 閉、(iii) 連結か。理由を述べよ。

题目描述

(1) 对通常拓扑下的连续映射 $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$，令 $A=\{x:f(x)\ge0\}$，分别给出 $A$ 为开集、闭集的条件。(2) 令 $f(t)=e^t(\cos t,\sin t)/(1+e^t)$，$D=\{0\}\cup f(\mathbb R)\cup S^1$，判断 $D$ 是否开、闭、连通并说明理由。

Kai

(1) $A=f^{-1}([0,\infty))$ は常に閉集合であり、(ii) は追加条件不要である。$\mathbb R^2$ は連結なので、$A$ が開集合であるための必要十分条件は $A=\varnothing$ または $A=\mathbb R^2$、すなわち

$$\boxed{\forall x\ f(x)<0\quad\text{または}\quad\forall x\ f(x)\ge0}$$

である。

(2) $D=\overline{f(\mathbb R)}$ を示す。$t\to-\infty$ で $f(t)\to0$。また $t_k=\theta+2\pi k$ とすれば $f(t_k)\to(\cos\theta,\sin\theta)$。逆に $f(t_k)$ が収束するとき、その極限の半径が $0<r<1$ なら $t_k\to\log(r/(1-r))$ なので極限は $f(\mathbb R)$ に属する。半径が $0,1$ なら定義上 $D$ に属する。

よって (ii) 閉集合である。(i) 非空の真の閉集合であり、$\mathbb R^2$ の連結性から開集合ではない。(iii) $f(\mathbb R)$ は連結集合の連続像であり、その閉包 $D$ も連結である。