千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 A2

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

1. $f(x)=\arcsin x/\sqrt{1-x^2}$（$|x|<1$）について、(a) $(1-x^2)f'(x)-xf(x)=1$ を示し、(b) マクローリン展開と収束半径を求めよ。
2. 正項級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ が収束するとき、$\alpha_n=\prod_{k=1}^n(1+a_k)$ が収束することを示せ。

题目描述

(1) 对 $f(x)=\arcsin x/\sqrt{1-x^2}$（$|x|<1$），证明 $(1-x^2)f'(x)-xf(x)=1$，并求麦克劳林展开及收敛半径。(2) 若正项级数 $\sum a_n$ 收敛，证明 $\prod_{k=1}^n(1+a_k)$ 收敛。

Kai

(1)(a) 微分すると

$$f'(x)=\frac1{1-x^2}+\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{3/2}},$$

なので直ちに従う。

(b) $f(x)=\sum_{k\ge0}c_kx^k$ とおくと $c_0=0,c_1=1$、$k\ge1$ に対して $(k+1)c_{k+1}=kc_{k-1}$。したがって

$$\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}x^{2n+1}}.$$

係数の比は $c_{2n+3}/c_{2n+1}=2(n+1)/(2n+3)\to1$ なので、収束半径は $\boxed{1}$。この級数は $|x|<1$ で項別微分でき、(a) の微分方程式と初期値 $f(0)=0$ を満たすので元の関数に一致する。

(2) $S=\sum a_k<\infty$ とすれば

$$1\le\alpha_n\le\exp\!\left(\sum_{k=1}^na_k\right)\le e^S.$$

$\alpha_n$ は単調増加かつ上に有界であるから収束する。