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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 A1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

体 KK 上のベクトル空間 V,WV,W と線形写像 f:V→Wf:V\to W を考える。双対空間を V∗=Hom⁡K(V,K)V^*=\operatorname{Hom}_K(V,K) とし、f∗:W∗→V∗f^*:W^*\to V^* を f∗(σ)=σ∘ff^*(\sigma)=\sigma\circ f で定める。

  1. f∗f^* は線形であることを示せ。
  2. ff が全射ならば f∗f^* は単射であることを示せ。
  3. g:U→Vg:U\to V は線形、ker⁡f=Im⁡g\ker f=\operatorname{Im}g、ff は全射、dim⁡V=m\dim V=m、dim⁡W=n\dim W=n とする。g∗g^* の階数を求めよ。

题目描述​

设 f:V→Wf:V\to W 为域 KK 上的线性映射，V∗=Hom⁡K(V,K)V^*=\operatorname{Hom}_K(V,K)，f∗(σ)=σ∘ff^*(\sigma)=\sigma\circ f。(1) 证明 f∗f^* 线性；(2) 证明 ff 满射则 f∗f^* 单射；(3) 另有线性映射 g:U→Vg:U\to V，满足 ker⁡f=Im⁡g\ker f=\operatorname{Im}g，ff 满射，dim⁡V=m\dim V=m、dim⁡W=n\dim W=n，求 g∗g^* 的秩。

Kai​

(1) 任意の a,b∈Ka,b\in K、σ,τ∈W∗\sigma,\tau\in W^*、v∈Vv\in V に対し

f∗(aσ+bτ)(v)=aσ(f(v))+bτ(f(v))=(af∗σ+bf∗τ)(v).f^*(a\sigma+b\tau)(v)=a\sigma(f(v))+b\tau(f(v))=(af^*\sigma+bf^*\tau)(v).

(2) f∗σ=0f^*\sigma=0 とする。任意の w∈Ww\in W は f(v)f(v) と書けるから、σ(w)=σ(f(v))=0\sigma(w)=\sigma(f(v))=0。よって ker⁡f∗=0\ker f^*=0。

(3) ker⁡g∗=Im⁡f∗\ker g^*=\operatorname{Im}f^* を示す。f∘g=0f\circ g=0 より右辺は左辺に含まれる。逆に λ∈ker⁡g∗\lambda\in\ker g^* は ker⁡f=Im⁡g\ker f=\operatorname{Im}g 上で消えるので、σ(f(v))=λ(v)\sigma(f(v))=\lambda(v) は矛盾なく WW 上の線形汎関数を定め、λ=f∗σ\lambda=f^*\sigma となる。(2) より dim⁡ker⁡g∗=dim⁡W∗=n\dim\ker g^*=\dim W^*=n。したがって

rank⁡g∗=m−n.\boxed{\operatorname{rank}g^*=m-n}.
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