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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2020年8月実施 専門 A0

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

A,BA,B を空でない集合、f:A→Bf:A\to B を写像とする。f(X)={f(x):x∈X}f(X)=\{f(x):x\in X\}、f−1(Y)={x∈A:f(x)∈Y}f^{-1}(Y)=\{x\in A:f(x)\in Y\} とする。次の四条件が同値であることを示せ。

  1. ff は全射である。
  2. 任意の Y⊆BY\subseteq B に対して f(f−1(Y))=Yf(f^{-1}(Y))=Y。
  3. Y1,Y2⊆BY_1,Y_2\subseteq B に対し、f−1(Y1)=f−1(Y2)f^{-1}(Y_1)=f^{-1}(Y_2) ならば Y1=Y2Y_1=Y_2。
  4. 任意の空でない集合 CC と写像 g:C→Bg:C\to B に対し、g=f∘hg=f\circ h を満たす h:C→Ah:C\to A が存在する。

题目描述​

设 A,BA,B 非空，f:A→Bf:A\to B。证明以下四个条件等价：(1) ff 满射；(2) 对任意 Y⊆BY\subseteq B，f(f−1(Y))=Yf(f^{-1}(Y))=Y；(3) f−1(Y1)=f−1(Y2)f^{-1}(Y_1)=f^{-1}(Y_2) 蕴含 Y1=Y2Y_1=Y_2；(4) 对任意非空集合 CC 和映射 g:C→Bg:C\to B，存在 h:C→Ah:C\to A 使 g=f∘hg=f\circ h。

Kai​

(1)⇒(2)(1)\Rightarrow(2)：一般に f(f−1(Y))⊆Yf(f^{-1}(Y))\subseteq Y。逆に y∈Yy\in Y なら全射性により f(x)=yf(x)=y となる x∈Ax\in A があり、x∈f−1(Y)x\in f^{-1}(Y) だから等号が成り立つ。

(2)⇒(3)(2)\Rightarrow(3)：両辺の像をとれば Y1=f(f−1(Y1))=f(f−1(Y2))=Y2Y_1=f(f^{-1}(Y_1))=f(f^{-1}(Y_2))=Y_2。

(3)⇒(1)(3)\Rightarrow(1)：f−1(B∖f(A))=∅=f−1(∅)f^{-1}(B\setminus f(A))=\varnothing=f^{-1}(\varnothing) より B∖f(A)=∅B\setminus f(A)=\varnothing。

(1)⇒(4)(1)\Rightarrow(4)：選択公理により、各 b∈Bb\in B に対して ab∈f−1({b})a_b\in f^{-1}(\{b\}) を一つ選ぶ。h(c)=ag(c)h(c)=a_{g(c)} とおけば f(h(c))=g(c)f(h(c))=g(c)。

(4)⇒(1)(4)\Rightarrow(1)：C=BC=B、g=id⁡Bg=\operatorname{id}_B とすれば f∘h=id⁡Bf\circ h=\operatorname{id}_B となり、ff は全射である。

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