千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 B9

标签：

• Maximum-Likelihood-Estimation
• Fisher-Information-and-Cramer-Rao-Bound

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X_1,\ldots,X_n$ が独立同一に $P(X_i=x)=e^{-\lambda}\lambda^x/x!$（$x=0,1,\ldots$, $\lambda>0$）に従う。

(1) 対数尤度を求めよ。(2) 最尤推定量を求めよ。(3) 全標本の Fisher 情報量を求めよ。(4) (2) の推定量が有効推定量か調べよ。

题目描述

对 $n$ 个独立同分布的 Poisson 样本：(1) 求对数似然。(2) 求最大似然估计。(3) 求 Fisher 信息。(4) 判断该估计量的有效性。

Kai

$S=\sum_{i=1}^nX_i$ とおく。

(1)

$$\boxed{\ell(\lambda)=-n\lambda+S\log\lambda-\sum_{i=1}^n\log(X_i!)}.$$

(2) $S>0$ なら $\ell'(\lambda)=-n+S/\lambda=0$ と $\ell''(\lambda)=-S/\lambda^2<0$ より $\widehat\lambda=S/n=\overline X$。

$S=0$ の場合は $\ell(\lambda)=-n\lambda$ が狭義減少し、指定された開いた母数空間 $\lambda>0$ では最大値をとらない。境界 $\lambda=0$ を許す通常の拡張では $\widehat\lambda=0$ となり、全標本に対する推定量は一貫して $\boxed{\widehat\lambda=\overline X}$ と定義できる。

(3)

$$\boxed{I_n(\lambda)=-E[\ell''(\lambda)]=\frac{E[S]}{\lambda^2}=\frac n\lambda}.$$

(4) この標本平均推定量は $E[\overline X]=\lambda$ で不偏、かつ

$$\operatorname{Var}(\overline X)=\frac\lambda n=I_n(\lambda)^{-1}.$$

従って Cramér–Rao 下限を達成する有効推定量である。