千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 B8

标签：

• Exponential-Spacings-and-Poisson-Counting-Process
• Central-Limit-Theorem
• Moment-Generating-Function

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$0<T_1<T_2<\cdots$ を連続型の到着時刻とし、$N(0)=0$, $T_n\le t<T_{n+1}$ のとき $N(t)=n$ とする。互いに重ならない時間区間の増分は独立で、長さ $s$ の増分は Poisson$(\lambda s)$（$\lambda>0$）に従う。

(1) $N(t)$ の期待値 $E_t$、分散 $V_t$ を求めよ。(2) $Z_t=(N(t)-E_t)/\sqrt{V_t}$ のモーメント母関数を求め、$t\to\infty$ で標準正規分布へ収束することを示せ。(3) $P(T_n\ge t)$ と $E[T_n]$ を求めよ。

题目描述

对于强度 $\lambda$ 的 Poisson 计数过程及其第 $n$ 次到达时刻：(1) 求计数均值和方差。(2) 求标准化计数的矩母函数并证明正态极限。(3) 求到达时间的尾概率和期望。

Kai

(1) $N(t)\sim\operatorname{Poisson}(\lambda t)$ なので $\boxed{E_t=V_t=\lambda t}$。

(2) $\mu=\lambda t$ とおく。Poisson 分布の母関数から

$$\boxed{M_{Z_t}(s)=\exp\left\{\mu\left(e^{s/\sqrt\mu}-1-\frac{s}{\sqrt\mu}\right)\right\}}.$$

固定した $s\in\mathbb R$ に対して指数を Taylor 展開すると

$$\mu\left(e^{s/\sqrt\mu}-1-\frac{s}{\sqrt\mu}\right) =\frac{s^2}{2}+O(\mu^{-1/2}).$$

従ってモーメント母関数は原点の近傍で標準正規分布の母関数 $e^{s^2/2}$ に収束する。母関数の連続性定理より $Z_t\Rightarrow N(0,1)$。

(3) 連続型なので $P(T_n=t)=0$。$\{T_n>t\}=\{N(t)\le n-1\}$ より $t\ge0$ で

$$\boxed{P(T_n\ge t)=e^{-\lambda t}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(\lambda t)^k}{k!}}.$$

非負確率変数の尾積分公式から

$$E[T_n]=\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^\infty e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\frac1\lambda=\boxed{\frac n\lambda}.$$